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三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学 蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题, 学生们往往对此类的问题感到比较困难。本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。.定义法:定义:一般地y=c,对于函数,如果存在一个不为零的常数,使得当取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数;不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说,如果在所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小的正周期。 下面我们谈到三角函数的周期时,一般指的是三角函数折最小正周期。=3sin(-x—)的周期3 3解:ty=f(x)=3sin(-x )=3sin(-x+2)3 3 3 =3sin(—x2 )=3sin[-(x3) ]3 3 3=f(x+3)这就是说,当自变量由x增加到x+3,且必增加到x+3时,函数值重复出现。二函数y=3sin(-x—)的周期是T=3。3 3例2:求f(x)=sin6x+cos3x的周期解tf(x+—)=sin6(x+-)+co§(x+)222=co£x+sirfx=f(x)f(x)二Si^x+cogx的周期为T二一2例3:求f(x)=sinxsin3x的周期cosxcos3x解:•••f(x+)二一)s^ )cos(x)cos(x)sinxsin3xcoxcos3xsinxsin3xcosxcos3x=f(x).•.求f(x)=sinxsin3x的周期:t=:)、R),(1)如果所求周期函数可化为y=Asin(x)、y=Acos(xy=tg(x)形成(其中A、、为常数,且AO、 >0、则可知道它们的周期分别是: -、-、一。例4:求函数y=1-sinx+、3cosx的周期解:vy=1-2(2sinx-Fcosx)=1-2(cos—sinx-sin cosx)3 3=1-2sin(x-—)3这里=1 .周期T=2例5:求:y=2(^sinx-?cos3x)-1解:ty=2(—^sinx」cos3x)-122=2sin(3x)-16这里=3二周期为T=—3例6:求y=tg(1+整)的周期5解:这里 二鼻,二周期为:T=/3更5 5 3(2)如果f(x)是二次或高次的形式的周期函数,可以把它化成sinx、cosx、tgx的形式,再确定它的周期。例7:求f(x)=sinx・cosx的周期解:tf(x)二sinx・cosx二—sin2x2这里=3,二f(x)=sinx・cosx的周期为T=例&求f(x)=sin2x的周期解:•••f(x)=sin2x=1cos2x2而cos2x的周期为,二f(x)=sin2x的周期为T=注:以上二题可以运用定义求出周期。例9:求y=sin6x+co$x的周期解:原函数次数较高,应先进降次变形,再求周期。ty=sin6x+co$x=(sin2x+coWx)(sin4x-sin2x•cos2x+co$x)=(siri2x+coWx)2-3sin2x•cos2x=1-3sin2x•cos2x2c=1-—sin22x453 /二—+—cos4x88而cos4x的周期为丁旦=「,2「•y=sir6x+cogx的周期为T=?例10:函数y=3sin2x-23sinx-cosx+5coSx的周期。解:利用三角恒等式对