2020版(全)基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析.docx

.(1)若a,bR,则a2 b2* a b2ab(2) 若a,bR,则ab*2 2a b (当且仅当a2b时取“=”)2.(1) 若a,bR ,则 ab2若a,bR ,则a b2 ab(当且仅当 ab时取“=”)若a,bR*,则ab2a b ( 当且仅当a2b时取“=”)10,则xx2(当且仅当 x1时取“=”);若x10,则xx2(当且仅当x1时取“=”)若x 0,则x 112即x12或x-2 ( 当且仅当ab时取“=”)x x x若ab0,则a bb a2 ( 当且仅当ab时取“=”)若ab0,则 a ba b a b2即 2或-2 ( 当且仅当ab时取“=”)b a b a b a若a,bR,则a b2( )22 2a b (当且仅当 a2b时取“=”)注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” .(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、 比较大小、求变量的取值范围、 证明不等式、:求最值例1:求下列函数的值域2(1)y=3x2+12x1(2)y=x+x2解:(1)y=3x2+12x2 1≥2 3x·22x1= 6 ∴值域为[ 6,+∞)1(2)当x>0时,y=x+x≥2 x·x=2;当x<0时, y=x+1x1= -(- x-x1)≤-2 x·x=-2∴值域为(-∞,- 2]∪[2,+∞)解题技巧:技巧一:凑项例1:已知x5,求函数 y4x 214x 5的最大值。解:因4x5 0,所以首先要“调整”符号,又(4x12)4x 5不是常数,所以对4x2要进行拆、凑项,5x , 5 4x 0,y 4x1 12 5 4x3 2 3 14 4x15 5 4x当且仅当4x,即x5 4x1时,上式等号成立,故当x 1时,ymax 1。评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。技巧二:凑系数例1. 当 时,求y x(8 2x)的最大值。解析:由 知, ,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。 注意到2x(8 2x) 8为定值,故只需将y x(8 2x)凑上一个系数即可。当 ,即x=2时取等号 当x=2时,y x(8 2x)的最大值为 8。评注:本题无法直接运用基本不等式求解, 但凑系数后可得到和为定值, 从而可利用基本不等式求最大值。3变式:设0 x ,求函数 y24x(32x)的最大值。解:∵30 x ∴3 2x20∴y4x(32x)2 2x(32x)22x 3 2x 922 2当且仅当2x33 2x,即x430, 时等号成立。2技巧三:分离例3. 求y2x 7x 10(x1)的值域。x 1解析一:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有( x+1)的项,再将其分离。当 ,即 时,y2(x41) 5 9(当且仅当 x=1时取“=”号)。x 1技巧四:换元解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值