《复变函数与积分变换》课后答案(华中科技大学第.docx

.⑴(1+i)-(3-2i);解(1+i)-(3-2i)=(I+i)-3+2i=-2+3i.(a—勿尸;解(a—di)3=a3—3a2h\+3a(bi)2-(bi)3=a'亠3ab2十i(Z>3—3a2b).⑶(i-1)G-2);紹 ! = i =一i—(i—l)(i~2)i2-2i—i4-2 1—3i=,L(.I.±.3i)二二J+丄10-1010⑷:+;(z=X+iy工-1);驱w-1=h4-i_y—1=(z—1十 十1—iy)z+l~x+i3>+l~ (jt+1)2+>2_工2+护_[+2®(H+1尸+亍1•2证明下列关于共純复薮的运算性质:(ZJ±Z2)=Z1±乏2;证(6土Z2)-(X1+i^l)±(X2十i>2)=(Xi±x2)+i(«Vi±3»2)=(文1±工2)一i(》i=帀一bl±X2+i,2-^1±乏2・Z\•Z2=乏1・乏2;证Z1•Z2=(X1+血1)(龙2+i,2)=(工1乂2-刃»2)+i(#Q2+》1工2)=巧力2-刃力-认工22+刃工2>・乏1•乏2=(工1+计1)〈工2+ -(工1-21〉(工2-»2)=工1工2-&1工2-&Q2_刃歹2・即左边=右边,+a)= ((£1十iyi〉(龙2一i»2)\x2+i^2/ \ ^2+yl(^2+处)(文2-®2)=4,==*^=-f-3 ^2+ylZ]_iyi=£i^2-卜2_乏2’13解方程组,.一]2z[-z2=i,(1+i)®+iz2=4-3i,解所给方程组可写为J2^i+2助-工2_5=i,1(1+i)(工i+Vi)+i(戈2+卩2)=4--x2+i(2$i-力)=i,工[一一)2+j(^l十工2十)=®_比=0,2力-,2=1,Q_力_yz工1+工24y解得17 6力=一亍刃—亍Xi故6_ +匕+c=0(/十於工0)写成复数形式.[提示:记x\y~z.]解由工二宁,y= 代入直线方程,得号(z+乏〉+寻(z-乏)+c=0,az+az-6i(z-乏)+2c=0,(a—ib)z+(a+\b)z+2c=0,故Az+ +B=0,其中A=a+ =2c・1-5 将圆周方程a(/+b)十Qjt十<y十</=0(aH0)写成复数形式(即用H与N表尔,共中Z=#卜砂).解把才=土;",y=Z2i~t:r2+畀=h•壬代入圆周方程,得az•乏十号(z+文)十去(n—乏)十=0,2az•乏+(b—ic)z4-lb+ic)乏+2"=0,故Az•乏+Bw+Bz+C=.=2a,B=A+ic,C= 求下列复数的模与辐角主值.<1)/3+i;解I>/3+i|= ('/S)2+I2=V4=2,arg(V3+i)=arctan~^r= 6-1-i:解|-1-i|=/(=讦+ClP=72,arg(~1—i)—arctar»(•^T"!)—it—育—穴= -i;解I2-i|=v/22+(-l)2=75,arg(2—i)—arctan=—arcran寺.-1++3i]=VX-l)2+32二/H),3arg(—1+3i)=arctan二+n=7t—-7 证明下列各式:⑴丨初-立卜二 \^\2-2Re(Z!•耳);证I®一勺|2=(引一勺)(耳"Z2)-(21-Zl){Z{-勿)=Z\・ +Z2・更2_^1-21^2=丨引F+丨辺卩-(?1乞2+2^2)=丨引$+|©F-2Re(疥2)・(2) |^4-z2|2+|Z1-z2|2=2(|21|24-|^|2),并说明此式的几何意义;证I®+±2丨2+|zi-Z2〔2=(Z1+Z2)(®+Z2)+(Z1-工2)(引一Z2>-(引+玄2)(乏1+乏2)+(G一北2)(乞1一乏2)=2匕|2+2|勺卜=2(|刁|2十|立|2〉.此式的几何意义是:平行四边形对角线平方和等于各边平方和.(3) 境(I龙|+lylXl«l<|xl+|y|(其中z-x+iy)・证显然有4丨=|工+"=VJC2+y2冬i丄丨+(Lr|-l^i)2>0,则2[oy|M产+/又("1+1川)2=|却2+|川2十2|巧|<2(z2+y2)=2\z\2,故1乂1》立("I+\y\)•即i.«将下列各复数写成二角衷示式.⑴-3+2i;解丨一3+2i|二yi3,arg(-3+2i)=arctan+兀,+isin(兀一arctany).▼3+2i=\/13[cos(兀-arctanysincr+icosa;Isina4-icosa!=1,arg(sina十iza)=azan款=arctan(cota)=刁-a,ftsina+icosa—cos7T2~°—sin石—-s