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IMIfe分析令炬研究学习电（九）.docIMIfe分析令炬研究学****电"(九)第六章 极值问题[学****目标]理解凸分析的基本概念与理论。掌握一•般函数求极值的分析理论与方法。掌握欧拉方程的导出。了解等周问题。[问题解析](一)关于凸集若S是凸集,则S中任意两点的连线一定在S屮。当SuR'时,一维的区间一定是凸集。由凸集的性质知:(1)凸集的交集是凸集,凸集的并集未必是凸集,例如设分别是两个圆,则AuB的图形为显然不是凸集。(2)两个凸集的线性组合是凸集(二)凸函数的判定方法方法1:利用定义。若对于定义域中任意两点州,兀2,有/(妙+(1-a)x2)<叭兀])+(1-a)f(x2)或f{otxx+(1-a)x2)> (%,)+(1-a)f(x2)则为下凸函数或上凸函数。方法2利用U知结论:(1)基本初等函数的凸性;(2)线性函数既是下凸函数乂是上凸函数。方法3利用函数的二阶导数:(1) 设/(兀)是一元二次可微函数,若f\x)>0,则为下凸函数;若/ff(x)<0,则为上凸函数;(2) 设/(兀)是SuR”屮懂得多元二次可微函数,对于任意两点xpx2且有(无|)兀2-(<)0则/(x)是S屮的下凸(上凸)函数。其屮4(兀)=仙(兀)),杯)=匚心),为对称的〃阶方阵。称为Hessian矩阵。5xidxj(三)凸函数的极值(1) 利川结论:凸两数在有界凸多面体上的极值在凸多面体的顶点上达到。(2) 利用结论:若y=/(x)是上凸函数,则有乃个正数的儿何平均不超过这n个正数的算术平均,即丄1(“・兀2.•…兀“)"5一(“+兀2+・・・+兀)n常用此结论证明不等式,步骤为:(1) 引入与之相关的函数;(2) 验证函数的凸性;(3) 利川结论证明不等式的成立。例如证明不^2ex+y<e2x+e2>,证明设=e“,且有Vxe/?,f\x)=4e2x>0是严格下凸函数,则有/(乂严)<*[/(兀j+/(兀2)】成立,即有2x+2y 1e2S丄[e2x+e2>]2所以有2ex+>,<e2x+e2y成立。(四)一•般函数的极值求法1、关于极值存在的必要条件由已知结论,対于开区间上的可导函数,极值点一定是函数的稳定点。但是还需要说明两点:(1) n兀())=o只是/(朗在点兀()出取得极值的必要条件,而不是充分条件,事实上,我们熟悉的函数/(x)=x3在兀=0是,导数等于零,但在该点并不収极值。(2) 结论成立的前提之一是函数在兀°点可导,而导数不存在(但两数连续)的点也可能取到极值。例如2/W=A*32--frM=-x3显然/'(0)不存在,但在尤=0处函数却取得极小值/(0)=0,如图4(3)极值的可疑点是函数的稳定点和不可导点。同理,对于二元函数极值存在的必要性也有同样的说明。2、 关于极值的充分条件一元函数极值有两个判别方法,在运用