教研分享对数学教学“一题多解”的思考.docx

对数学教学“一题多解”的思考——记2019年浦东新区二模第25题“一题多解”,顾名思义是一个题目采用多种解法。在数学教学中,恰如其分地采用一题多解的教学方式,不仅能在最近发展区之中把学生从已知的领域渡到未知的领域,建立并梳理知识与知识、方法与方法、知识与方法之间纵横交错的网络体系,牢固掌握知识之间的内在联系和区别、方法之间的运用和综合。更能充分发挥学生的主体作用和主观能动性,在观察、思考、探索数学知识和奥秘的过程中,培养学生思维的灵活性、发散性、深刻性、探索性、创新性,让学生提高灵活运用所学知识解答数学问题的技能,倍长学****数学学科的浓厚兴趣,从而不断提高学生分析问题、解决问题的认知水平和思维水平,体现数学学科的应用价值,活学活用,学以致用。下面,以2019年浦东新区二模数学卷第25题第三问为例作如下分析:如图,已知在△ABC中,AB=AC,BC比AB大3,sinB=45,点G是△ABC的重心,AG的延长线交边BC于点D,过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q.(3)当点Q在边AC上时,设BP=x,AQ=y,求y关于x的函数解析式,(1)问AG的长等于8之后,可知△ABC是以腰为15、底为18、高为12的等腰三角形。第三问仍然考察动态图形中建立y与x的函数关系式问题。很显然根据已知条件可以得到BP=x,AP=15-x,AQ=x,CQ=15-y。即点P、Q分别是线段AB和线段AC上的分点,所分线段比值可以用含x和y的代数式来表示,又在第一问中求出AG的长为8,想到在形外添加与AD平行的辅助线BE,CF,构造两对X型相似三角形,△APG∽△BPE,△AQG∽△CQF,利用相似三角形对应线段成比例分别用含x和y的代数式表示BE和CF的长度BE=8x15-x,CF=8(15-y)y。再利用DG是直角梯形BCFE的中位线可建立方程:BE+CF=2∙DG=2∙4=8,化简可得y=75-5x10-x(0≤x≤152)。定义域受点Q在边AC上的限制,BP的长度最大可以取到AB的一半可求。试问,能过点B,C分别作BC的垂线构造两组X型相似求出BE和CF,再利用D为中点,DG为中位线建立方程,能不能分别过点B,C作PQ的垂线构造两对X型相似呢?作了垂线又怎么利用到已知AG和GD的长度呢?于是想到再分别过点A,D作PQ的垂线AN,DM,于是产生了方法二:△PEB∽△PNA,△QFC∽△QNA,BE=x15-xAN①,CF=15-yyAN②,又因为△ANG∽△DMG,2∙DM=AN③,在直角梯形BCFE中,2∙DM=BE+CF④,由①+②得BE+CF=x15-xAN+15-yyAN由③和④得BE+CF=AN,结果消掉AN,与方法一殊途同归。根据以上两种方法我们进一步分析总结,此题的解题思路总体分两步,第一步:已知点P、Q分线段AB、AC的比例,构造相似,求出相应线段的长度;第二步:上一步所求线段长度与已知线段AG、GD产生联系建立方程,从而求出y与x之间的函数关系式。前两种方法都是构造两对相似基本图形中的X型相似来求解相关线段长度,那么,我们能否构造两对A字型相似呢?如图(方法三)所示,过点B、交AD于M、N两点,可得△APG∽△ABM,△AQG∽△ACN,分别求出AM、AN的长(用含x,y的代数式表示),AM=8∙1515-x,AN=8∙