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泛函分析总结泛函分析知识点小结及应用第七章度量空间§1度量空间的进一步例子一度量空间的定义设X是任一非空集合,若对于-x,,都有唯一确定的实数dx,y与之对应,且满足非负性:dx,y_0,dx,y=0=x=y;对称性:d(x,y)=d(y,x);三角不等式:对-x,y,z•工,都有dx,y<dx,z+dy,z,则称(乂,d)为度量空间,工中的元素称为点。欧氏空间Rn对Rn中任意两点x=ex?,…,Xn和y=yi,y2,…,yn,规定距离为1d(x,y)=£%—yi2ki=1 丿ca,bi空间 ca,b]表示闭区间a,bi上实值(或复值),b1中任意两点x<(t)-y(t).lp(1乞p<+立)空间记lphX=°k匕zXkp<0>k=1Jx,y,定义d(x,y)=鹦耳d(x,y)=送Xi—%2i设x=%a,y=M二j,定义二 度量空间的进一步例子例1序列空间S令S表示实数列(或复数列)的全体,对-X二:匚,y二;、y匸,风-yk1Xk-yk例2有界函数空间BA设A是一个给定的集合,令BA表示A上有界实值(或复值)函数的全体.-x,yBA,定义dx,y=supxt-(或复值)的可测函数的全体,m为Lebesgue测度,若mX:::::,对任意两个可测函数ft及gt,由于fft)-g(tj诃W1,故不等式左边为X上可积函数■令df,g=x--gt§2度量空间中的极限设"xn二是X,d中点列,若-x■X,,x=0n»则称\n和是收敛点列,x是点列*,则因为0-dx,y-dx,xn'dy,xn>0n「:,而有dx,y==()式换一个表达方式:limdxn,x=dlimxn, nyfj极限存在时,,,y_dx,xo+dx°,yo+dy°,y =dx,y-dxo,yo<dx,x°+dy°,y;dxo,yo-dx°,x+dx,y+dy,y° -■dx°,yo-dx,y_dx,xo+dyo,|dx,y-dx°,y°|—dx,x°+dy°,y具体空间中点列收敛的具体意义:欧氏空间Rn Xm=x「,X2m,…,Xnm,m=1,2,…,为Rn中的点列,X=Xi,X2,,Xn-Rn,dXm,x=:jX!-X! x2_X2 Xn-“X(mt临)二对每个1兰i兰n,有xjm匚Xj(mt比).Ca,b1设乂魚Ca,b1,xCa,b】,贝UdXn,X=maXXnt-Xt>0n•'::=火‘ 设Xm=/,「「,「,…,m=1,2,,及X=!「2,…「n,…分别是S中的点列及点,贝U-1|缎)7|d(Xm,^^—— TO(mTd)uXm依坐标收敛于X.“21平•可测函数空间MX设CfnMX,fMX,则因dfn,=fn(t)一f(t)Vfnt-ftdm,有§3度量空间中的稠密集可分空间定义设X是度量空间,N和M是X的两个子集,令M表示M的闭包,若NM,则称集M在集N中稠密,当N=X时,称M为X的一个稠密子集•若X有一个可数的稠密子集,, I::是不可分空间.§4连续映照定义设X=X,d,Y=Y,d是两个度量空间,T是X到Y中的T 〜映射:X=X,d>Y=Y,。X,若-;0, : 0,.-x•X且dx,x。::::,都有〜Tx,Tx0:::;,则称T在X。连续:定理1 设T是度量空间X,d到度量空间Y,〜中的映射:TX,d:rY,d,则T在xo连续=当xn>xo时,必有TXn>=任意开集MY,T’ 度量空间X到Y中的映照T是X上的连续映照=任意闭集MY,TJM是X中的闭集.§5柯西点列和完备度量空间定义1设X=(X,d)是度量空间,>0,三N=N(e卢N,,naN时,有d(xn,xm e,则称汶n:需是X中的柯西点列或基本点列•若度量空间(X,d)中每个柯西点列都收敛,则称(X,d),柯西点列不一定收敛,如点列1,,1,41, ,在R1中收敛于2,=:(1)C(收敛的实或复数列的全体)是完备度量空间(2) ca,