(完整版)常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分.doc

第三讲 常微分方程发展简史 ——解析理论与定性理论阶段3、常微分方程解析理论阶段: 19世纪19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段 .作为微分方程向复数域的推广 ,微分方程解析理论是由 ,重点转向大范围的研究。级数解和特殊函数这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法 ,求出一些重要的二阶线性方程的级数解,并得到极其重要的一些特殊函数 .常微分方程是 17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的 .在着手处理更为复杂的物理现象,特别是在弦振动的研究中,,因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的 ,所以得到的常微分方程是陌生的,并且不能用封闭形式解出 .为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程 ,数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式 ,而转向无穷级数的方法 .应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是 .x2y xy(x2n2)y 0对Bessel来说,,后来BernoulliDaniel、Euler、Fourier、,此方程存在两个独立的基本解 ,记作Jn(x)和Yn(x),分别称为第一类 Bessel函数和第二类 Bessel函2数,它们都是特殊函数或广义函数(初等函数之外的函数) .Bessel自1816年开始研究此方程,首先给出了积分关系式Jn(x)q cos(nu xsinu) 01818年Bessel证明了Jn(x)有无穷多个零点 .1824年,Bessel对整数n给出了递推关系式xJn1(x) 2nJn(x)xJn1(x) 0和其他的关于第一类 Bessel函数的关系式 .后来又有众多的数学家(研究天体力学的数学家)独立地得到了 。解析理论中另一重要内容是 Legendre方程的级数解和 Legendre多项式方面的结果 .1784年,Legendre研究了Legendre方程(1x2)y2xy y0,给出了幂级数形式的解 ,,Hermite C研究了方程 y2xy y0,得到了其幂级数解,当 为非负偶数时即为著名的 Hermite 多项式. Tchebyshevy 在研究方程(1 x2)y xy p2y0的解时,,Gauss研究了Gauss几何方程x(1x)y[ ( 1)]y y F( , , ,x) 1 x1&( 1) ( 1)x212&&( 1)早已为人们所熟知了,,包含了几乎所有的当时已知的初等函数和许多像Bessel函数、,Gauss还建立了著名的关系式F( , , ,1)( ) (