小波分析方法及其皿用1.doc

小波分析方法及其皿用1.doc小波分析方法及其皿用1小波分析方法及其应用冉启文*•小波分析方法及其应用•,18(1),52〜55"小波分析(WaveletAnalysis)"是一种新的分析方法,它是继Fourier分析之后纯粹数学和应用数学完美结合的又一光辉典范。小波分析的产生、发展、完善和应用始终受惠于计算机科学、信号处理、图象处理、应用数学和纯粹数学、地球科学等众多科学研究领域和工程技术应用领域的专家、学者和工稈师们的共同努力。正因为如此,小波分析现在已成为科学研究和工程技术应用屮涉及面极其广泛的一个热门话题。,我们约定,一般用小写字母,比如f(x)表示时间信号或函数,其屮括号里的小写英文字母X表示时间域自变最,对应的大写字母,这里的就是F(3)表示相应函数或信号的Fourier变换,其屮的小写希腊字母表示频域自变量;尺度函数总是写成(p(x)(时间域)和①(0)(频率域);小波函数总是写成叽x)(时问域)和屮(3)(频率域)。考虚函数空间L2(R),它是定义在整个实数轴R上的满足要求()的可测函数f(x)的全体组成的集合,并带有相应的函数运算和内积。工程上常常说成是能量有限的全体信号的集合。(Wavelet)小波就是函数空间L2(R)屮满足下述条件的一个函数或者信号W(x):(1-)这里,R*=R-{0}表示非零实数全体。有时,叽X)也称为小波函数,()称为容许性条件。对于任意的实数对(a,b),其中,参数a必须为非零实数,称如下形式的函数为由小波母函数屮(X)生成的依赖于参数(a,b)的连续小波函数,简称为小波。注释:(一)如果小波母函数屮(x)的Fourier变换屮(co)在原点co=0是连续的,那么,公式()说明屮(0)=0,即R叽x)dx=0。这说明函数W(x)有“波动啲特点,另外,公式()又说明,小波函数屮(x)只在原点的附近它的波动才会明显偏离水平轴,在远离原点的地方函数值将迅速“衰减”为零,整个波动趋于平静。这是称函数屮(x)为“小波”函数的基本原因;(二)对于任意的参数对(a,b),显然但是,这里屮(a,b)(x)却是在x=b的附近存在明显的波动,R屮(a,b)(x)dx=0,而且,有明显波动的范围的大小完全依赖于参数a的变化。当a=W这个范围和原來的小波函数屮(x)的范围是一致的;当a>l时,这个范囤比原来的小波函数叽x)的范用要大一些,小汉的波形变矮变胖,而且,当a变得越来越人时,小波的波形变得越来越胖、越来越矮,整个函数的形状表现出来的变化越来越缓慢;当0<a<l时,屮(a,b)(x)在x=b的附近存在明显波动的范围比原来的小波母函数屮(X)的要小,小波的波形变得尖锐而消瘦。作为例了,这里给出Shannon小波形。(WaveletTransfonn)对于任意的函数或者信号f(x),其小波变换是()因此,对任意的函数f(x),它的小波变换是一个二元函数。这是和Fourier变换很不相同的地方。另外,因为小波母函数屮(x)只有在原点的附近才会有明显偏离水平轴的波动,在远离原点的地方函数值将迅速克减为零,敕个波动趋于平静,所以,对于任意的参数对(a,b),小波函数\|/(a,b)(x)在x=b的附近存在明显的波动,远离x=b的地方将迅速地衰减到0,因而,从形式上可以看出,(4)式的数值Wf(a,b)表明的本质上是原来的函数或者信号f(x)在x=b点附近按屮(a,b)(x)进行加权的平均,体现的是以屮(a,b)(x)为标准快慢的f(x)的变化情况,这样,参数b表示分析的时间中心或时间点,而参数a体现的是以x=b为中心的附过范围的大小,所以,一般称参数a为尺度参数,而参数b为时间屮心参数。⑴小波变换的Parscval恒等式(121)对空间L2(R)中的任意的函数Rx)和g(x)都成立。这说明,小波变换和Fourier变换一样,在变换域保持信号的内积不变,或者说,保持相关特性不变(至多相差一个常数倍),只不过,小波变换在变换域的测度应该取为dadb/a2,而不象Fourier变换那样取的是众所周知的Lebesgue测度,小波变换的这个特点将要影响它的离散化方式,同时,决定离散小波变换的特殊形式。小波变换的反演公式利用小波变换的Parseval恒等式()可得,在空间L2(R)屮小波变换有反演公式(122)特别是,如果函数f(x)在点x=xO连续,那么,小波变换有如下的定点反演公式(123)这说明,小波变换作为信号变换和信号分析的工具在变换过稈中是没有信息损失的。这一点保证了小波分析在变换域对信号进行分析的有效性。