小波变换与信号瞬时特征分析.docx

小波变换与信号瞬时特征分析.docx小波变换与信号瞬时特征分析1实信号的小波变换及其性质S⑴eE(R),d讥⑴beRa<Og(凹)严曲比少总伽)变换/⑺)的定义为信号/⑴EL(R)的Fourierf3= dt,反变换公式为L(Rd)表示绝对可积函数空间,R为实数集合。1」小波变换考虑“解析小波”曲)(即g@)=°,当。<°吋),满足g⑴显(R,dr)W(Rd),(|)且g(Qwr(R\{0},黑)0厶2(小{0},洱),(2)I(VI 丨0|任给一个信号”⑴w"Rd),心相对于g⑴的小波变换定义为S(b,a)=- )s{t)dt,(3)这里,虫/?,ovO,从/?,WE为平方可积函数空间, a表示Q的复共麻S(伏。)的频率域计算公式为S(b,a)=—fe'(,)hg(a(o)s{a))da)g(-―)。(4)2兀u &⑴是满足(1).(2)式的解析小波,&⑴的实部弘⑴为偶函数,即⑴的Fourier变换记为弘("),弘⑹)满足C=C工0,(5)CD 、任给一实函数$3)G厂(尺‘力),则I严 da——[S(b,a)—=s(b)+iH[s(b)]。(6)C”山 a这里,S<M由(3)式定义,H[s(h)]表示附)的Hilbert变换。证:由(3)式得S(/?,cz)=-£产 t—b t—ba-fs(t)gR(^-)dt-i-「$(r)g/(a— a a—=SR(b,a)+iS[(b,a)[火)恣(——)—//(——)]/ (“t_b. )clta(7)式屮,(凹)及gL)依次表示gU)的实部和虚部,。 a. a aSr(b,a)=—aS⑴和(一)山,(Sa)8 aS[(b,a)=丄「,(8b)a— a利用定理1,对任给的尺度因子a(«>0),S(b,a)=SR(b,a)+iS@,a)=SR(b,a)+imSR(b,a)]=丄fs(t)gR(^-^)dt+iH[-|s⑴弘(a— a aFf葺%卡&匸火总(乎曲S 8f—bj )atdaa⑻式中两边同乘以不,然后矶在区间g作积分,得$0)土&匸$(曲2[丄J[二rs(^dco]gR^)dtdaCjoa-h27T— ao上式屮,先对t积分,作变量替换并利用q的定义,有心丄y 2龙丄「沁%=[严do)—s(b)即£(/"=[f4-fs⑴gR(J丄)dtda。(10)Co乂〃h a5上式屮MR,(9)式两边同乘以丄,然后对变量"在区间(°,g)作积分,注意c严到Hilbert变换为线性变换,再利用(10)式,即可得(6)式。。下面列出瞬时频率、瞬时相位及瞬时振幅等参数的计算公式。,对任给的尺度因子“,可求出该尺度下的瞬时参数。e(t,a)=Js;(f,a)+S;(/,a),(11a)<9(r,tz)=arctan[Sz(r,6z)/5A,(r,^)],(lib)0(f,d)=—arctan[Sz(/,6/)/ ,(11c)clt式屮,"(f,d)、eg及ga)依次表示尺度为"时信号的瞬时振幅、瞬时相位及瞬吋频率。)对应的瞬时参数e(r)=J$2(/)+$"(/),(12a)s刃(/)0(t)=arctan-—,(12b)/、d. sa)izco(t)=一[arctan—],(12c)dt s⑴上式屮,"⑴为对应的解析信号虚部,s\t)=H[s(t)]=lm—rs(r,cz)—,(13)刃)、&⑴及X)依次表示’⑴的瞬吋振幅、瞬吋相位及瞬吋频率。实际屮常用的还有加权平均频率及阻尼瞬吋频率。阻尼瞬吋频率定义为加“)1灾)矿“(计5刊)+宀心7max这里,刃)为O的瞬时振幅,Cx二max"),(15)£为小于1的正实数。2不同尺度瞬时参数的含义地震资料分析屮一个常用模型是褶积模型。尽管实际地震记录满足“变子波模型”,但在一定条件下可用褶积模型近似。用⑵⑴、R⑴及‘⑴依次记地震波、反射系数序列及地震记录。根据根据地震记录的褶积模型。s(t)=fa)(r)R(tfR(j)a)Q-T)dT,(16)J-00 J-cxs把(16)式代入(3)中得S(b,cz)=—fs(/)g( )(〃a— a-rtrRa)e(fY)mg(」~)df,(17)a—— ciS('\b-T)R{T\lrS"\b-T,a)=-poj(t-r)g(t—!-)dtn)w,(18)aa— a式中,=-r0(”g(a—=S^(b-Tya)+iS^b-r9a)根据定义,SP-GQ)为地震子波M)的小波变换。(18)式屮,S(^b-T,a)=-「0(/)即(『⑺门)力,(19)a— aSf(b—5=丄「力(必(—M,(20)ci— a根据定理1有S;°(b-T9a)=H[S^(b-Tya)]