函数奇偶性经典总结.docx

函数的奇偶性一、:一般地,如果对于函数 f (x ) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (- x ) = f (x ),f (- x) - f ( x) = 0 ,那么函数 f (x )就叫做偶函数。 函 数 : 一 般 地 , 如果对 于 函 数 f (x ) 的 定 义 域 内 任一 个 x , 都 有 f (- x) = - f (x) ,f (- x) + f ( x) = 0 ,那么函数 f (x )就叫做奇函数。注意:(1)判断函数的奇偶性,首先看定义域是否关于原点对称,不关于原点对称是非奇非偶函数,若函数的定义域是关于原点对称的,再判断 f (- x) = ± f (x) 之一是否成立。(2)在判断 f (x )与 f (- x ) 的关系时,只需验证 f (- x)± f (x ) = 0 及可来确定函数的奇偶性。题型一 判断下列函数的奇偶性。f (- x)f ( x)= ± 1 是否成立即f ( x) = x +1x⑴ f ( x) = x 2 + x, ( 2 )  f ( x) = x3 - x    ( 3 )f ( x) =  xx 2 + 1,G (x )= f (x )- f (- x ) x Î R (4)(5) f ( x) = x cos x (6) f ( x) = x sin x (7) f ( x) = 2 x - 2- x ,(8)提示:上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断(1)判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。(2)常见的奇函数有: f ( x) = x , f ( x) = x3 , f ( x) = sin x ,(3)常见的奇函数有: f ( x) = x 2 , f ( x) = x , f ( x) = cos xf ( x) = 1x(4)若 f (x )、 g (x)都是偶函数,那么在 f (x )与 g (x)的公共定义域上, f (x )+ g (x)为偶函数, f (x )- g (x)为偶函数。当 g (x)≠ 0 时, f ( x)g ( x)为偶函数。(5)若 f (x ), g (x)都是奇函数,那么在 f (x )与 g (x)的公共定义域上, f (x )+ g (x)是奇函数, f (x )- g (x)是奇函数, f (x )× g (x )是偶函数,当 g (x)≠0 时, f ( x)g ( x)1 / 14是偶函数。(6)常函数 f (x ) = c(c为常数 )是偶函数, f (x ) = 0 既是偶函数又是奇函数。((7)在公共定义域内偶函数的和、差、积、商分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(8)对于复合函数 F (x) = f [g (x)];若 g (x)为偶函数, f (x )为奇(偶)函数,则 F (x )都为偶函数;若 g (x)为奇函数, f (x )为奇函数,则 F (x )为奇函数;若 g (x)为奇函数, f (x )为偶函数,则 F (x ) 三次函数奇偶性的判断已知函数 f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d ,证明:(1)当 a = c = 0 时, f ( x) 是偶函数(2)当 b = d = 0 时, f ( x) 是奇函数提示:通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型,如 f ( x) = ax 2 + bx + c ,当 b = 0 , f ( x)是偶函数;当 a = c = 0 , f ( x) 是奇函数。题型三 利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值1 函数 f (x ) = ax2 + bx + 3a + b 是偶函数,定义域为 [a - 1 ,2 a],则 a + b =13.2 设 f ( x) = ax2 + bx + 2 是定义在 [1 + a,2 ]上的偶函数,则 f ( x) 的值域是 [-10,2 ] .3 已知 f ( x) = sin x 是奇函数,则 a 的值为( x - 1)( x + a)14 已知 f ( x) = sin x ln(x + x2 + a ) 是偶函数,则 a 的值为 1提示:(1)上述题型的思路是用函数奇偶性的定义, f (- x) = f ( x), f (- x) = - f ( x) 。(2)因为是填空题,所以还可以用 f (-1) = - f (1), f (-1) = f (1) 。(3)还可以用奇偶性的性质,如奇函数乘以奇函数是偶函数,奇函数乘以偶函数是奇函数等。题型四 利用函数奇偶性的对称1 下列函数中为偶函数的是( B )2 /