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数形结合法在函数零点问题中的应用高三数学组 2017年3月15日【教学目标】 函数的零点一直是近年来全国各地高考卷上的热点,因其综合性强,让很多同学感到困难。本文通过对高考试卷中有关零点问题的研究,来说明如何将数形结合思想运用于函数零点的问题中,使零点问题变得直观形象,从而有效地将问题解决。【教学思想、方法】 数形结合 分类讨论 转化与化归 函数与方程【考向洞察】1、针对题型确定零点的大致范围,多出现在选择题中;确定零点的个数问题,多出现在选择题中;利用已知零点的个数求参数的范围,多出现在选择题、填空题、解答题中均有可能出现。2、解决方案直接画出函数图像,观察图像得出结论。不能直接画出函数图像的,可以等价地转化为两个函数图像的交点, 通过判断交点的个数得出函数零点的个数或要求的参数范围。【例题讲解】例1、设函数f(x)x lnx,则函数3y f(x)(D )( ,1)在区间 1e( ,1)在区间 1e( ,1)在区间1e( ,1)在区间 1e,(1,e)内均有零点,(1,e)内均无零点内有零点,(1,e)内无零点内无零点,(1,e)内有零点解1:1 1f'(x)x 3,f(x)1在( ,e)单调递减, 1 11 0,f( )3 x 3x e e 3ef(1) 130,f(e)e 1 0,由零点存在定理知,区间 1( ,1)3 e内无零点,(1,e)内有零点。解2:令f(x) 0,得1x3lnx,作出函数y1x和y3lnx( ,1)的图象,如右图,显然在区间 1e内无零点,(1,e)内有零点。1x例2、设f(x)( ) 2,x20,则y f(x)x的零点个数是2 。2x 2,x 0解:作出函数y f(x)和y x的图象,如右图,由图可知直线y x与函数f(x)的图象有两个交点,所以y f(x)x有2个零点。例3、已知函数f(x)x2ln(xax,x1),x0,F(x) 2f0(x)x有2个零点,则实数a的取值范围是 。( ,1]2解1: x0时,F(x) 2f(x) x2ln(x 1)x,则F'(x)2 1 x1x 1 1 x当0 x1,F(x)单调递增;当x1,F(x)单调递减;而F(0) 0,F(x)maxF(1) 0,F(4) 2ln5 4 0,此时有 1个零点;x 0时,F(x),只有1个零点 ,则x22ax x的根为0或正数,由2x2(2ax解得x0或x2a2, 1 2a0,解得a 1。2解2:令F(x) 0,得f(x)x,作出2y f(x)和yx的图象22 x 1 1当x 0时,ax 恒成立,2a x, a2 2例4、若函数f(x)kx 1,x0则当k0时,函数f[f(x)] 1的零点个数为(D )lnx,x :令f(x)t,若y f[f(x)] 1 0,则f(t) 1则f(x) t1( ,0),f(x) t2(0,1)对于f对于f(x)(x)t1存在两个零点;t2存在两个零点;综上可知,函数y f[f(x)] 1有4个零点。例5、设f(x) (x2exaex,g(x) 2ax2(e为自然对数的底数),若关于x的方程e2f(x)g(x)有且仅