第七讲MATLAB在插值与逼近中的应用.doc

,逼近就是在精度要求的范围内对要研究函数给出近似的函数值,甚至函数表达式。为什么我们不直接计算要研究的函数或函值本身?理由如下:用给定函数表达式计算函值很困难甚至根本不可能。如,sinx、tgx、Inx等。由实验与测量得到的变量间对应关系常常是一函数值表(今后我们也称为表列函数)。但表所表示函在表某个中间位置的函数值却是无法知道的。函数可能被隐含地定义,而事实上又不能用一个直接规律给出。例如,由方程ey+y+sinx=0确定的隐含数。计算逼近函数的值往往比计算函值本身更快。特别地,当原来函数以无穷级数的形式给出,只能如此。计算机存储量有限,而其计算量相对来说却很大,从某种意义上来讲,逼近实际上也是为了取长补短。如,我们不可能将所有的sinx的值都存在计算机内,但我们将会看到,利用琏近我们的却可以很方便地算出任一点的函数值。实际应用中,只要函数值符合某一个精度要求也就够了。 逼近函数是为了更方便地计算函数,更简单地表达函数。因此,常用一些简单函数或这些简单函数的线性组合来逼近。通常的逼近形式有:我们称ф(x),i=0,1,2,…,m为逼近函数,f(x)称为逼近函数。 已知函数f(x)在n+1个点xi(i=0,1,2,…,n)的函数值为f(xi)(i=0,1,2,…,n)。要求出f(x)的逼近函数g(x),则要选定逼近基函数,确定上式中的常数ai(i=0,1,2,…,m)。基函数选定往往跟实际问题有关;而确定常数ai(I=0,1,2,…,m)以保证逼近函数g(x)能更近似地表示函数f(x),则是我们这里要解决的问题。为此,就要首先给出一个准则,来描述“更近似”。定义距离:其中,p>0为一实数。则“更近似“即指“e更小“。因此,确定ai(i=0,1,2,…,m)使得e取得最小即可。e称为逼近误差。若p=1,称为一致逼近,p=2,称为平方逼近。从上式不难看出,就此式而言,e最好的最小值为零,此时,g(xi)=f(xi),逼近函数g(x)恰好经过所有n+1个已知点(xi,f(xi)),(i=0,1,2,…,n)。+1个数据点(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn),若逼近函数经过n+1个数据点,即在已知数据点上的逼近误差为零,则称逼近函数为插值函数,简称为插值。若存在P(xi)=yi(i=0,1,…,n)称P(x)为y=f(x)的插值函数,求插值函数P(x)的方法称为插值法。主要算法有Lagrange插值、Newton插值、分段线性插值、Hermite插值及三次样条插值等。=f(x)上的两点(x0,y0)(x1,y1)作一直线p1(x)近似地替代f(x)即:p1(x0)=y0p1(x1)==f(x)上的三点(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)作一抛物线p2(x)近似地替代f(x)即:p2(x0)=y0p2(x1)=y1p2(x2)=y2作二次式l0(x),使其满足l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x2)=0,易推出:=f(x)在给定的两两互异的节点x0,x1,…,xn上的函数值为y0,y1,…,yn,求作一个次数≤=lagrange(x0,y0,x)%lagrangeinsertn=length(x0);p=0;fori=1:nl=;forj=1:nifj~=il=l*(x-x0(j))/(x0(i)-x0(j));endendp=p+l*y0(i);endy=p;例例给出f(x)=e-x的数值表,用lagrange插值计算e-(x)=[];y0=[.];y=lagrange(x0,y0,)y=(x)=lnx的数值表,(x)-0.-0.-0.-0.-=[::];y0=[-0.-0.-0.-0.-0.];y=lagrange(x0,y0,)y=-=log()y=-(将插值区间划分小区间[xi,xi+1],在每个小区间构造插值多项式pi(x),将每个小区间插值多项式pi(x)拼接)