第五章向量代数与空间解析几何.doc

第五章向量代数与空间解析几何本章主要知识点矢量运算平面方程直线方程常见曲面及方程第一节向量代数【主要考点】理解向量的概念,掌握向量的坐标表示法,,会球单位向量‘方向余弦、向量在坐标轴上的投影。掌握向量的线性运算,、向量的数量积与向量积的计算方法。掌握二向量平行、垂直的条件。【考点精要】一、空间直角坐标系从空间某定点做三条互相垂直的数轴,都以为原点,有相同的长度单位,分别称为轴,轴,轴,符合右手法则,这样就建立了空间直角坐标系,称为坐标原点。两点间的=距离设点,为空间两点,则这两点间的距离可以表示为定比分点公式是的分点:点的坐标为则当为中点时,二、,又有方向的概量,称为向量或矢量。向量的模向量的大小称为向量的模,用|a|表示向量的模。单位向量模为1的向量称为单位向量。零向量模为0的向量称为零向量,零向量的方向是任意的。向量的相等大小相等且方向相同的向量称为相等的向量。自由向量在空间任意地平行移动后不变的向量,称为自由向量。向径终点为P的向量称为点P的向径,记为。(1)向量的加法①三角形法则若将向量a的终点与向量b的起点放在一起,则以a的起点为点,以b的终点为中点的向量称为向量a与b的和向量,记为a+b。这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则。②平行四边形法则将两个向量a和b的起点放在一起,并以a和b为邻边作平行四边形,则从起点到对角顶点的向量称为a+b。这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。向量的加法满足下列运算律交换律:a+b=b+a结合律:(a+b)+c=a+(b+c)(2)向量与数的乘法运算实数与向量a的乘积是一个向量,称为向量a与数的乘积,记作a,并且规定:①|a|=|||a|;②当>0时,a与a的方向相同;当<0时,a与a的方向相反;③当=0时,a零向量。设,都是实数,向量与数的乘法满足下列运算律:结合律:(a)=()a=(a)分配律:(+)a=a+a,(a+b)=a+a向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算。(3)求与a同向的单位向量的方法设向量a是一个非零向量,则与a同向的单位向量(4)负向量当=-1时,记(-1)a=-a,则-a与a的方向相反,模相等,-a称为向量a的负向量。(5)向量的减法两向量的减法(即向量的差)规定为a–b=a+(-1)b向量的减法也可以按三角形法则进行,只要把a与b的起点放在一起,a–b即是以b的终点为起点,以a的终点为终点的向量。向量的坐标表示基本单位向量i,j,k分别为与x轴,y轴,z轴同向的单位向量。(2)向径的坐标表示点P()的向径=或简记为(3)的坐标表示设以为起点,以为终点的向量的坐标表达式为(4)向量a=的模|a|=,b=,则有a+b=a-b=a=()=(1)定义设向量a,b之间的夹角为,则|a||b|为向量与的数量积,记作a﹒b,即a﹒b=|a||b|.向量的数量积又称“点积”或“内积”.向量的数量积还满足下列运算律:交换律:a﹒b=b﹒a分配律:(a+b)﹒c=结合律:a﹒c+b﹒c结合律:(a﹒b)=(a)﹒b(其中为常数).(2)=ai+aj+ak,则a﹒b=a+a+a.(3)向量a与b的夹角余弦设a=ai+aj+ak,b=bi+bj+bk,则向量的方向余弦设向量a=ai+aj+ak与轴,轴,轴的正向夹角分别为称其为向量a的三个方向角,并称为a的方向余弦,(1)定义两个向量a与b的向量积是一个向量,记作ab,它的模和方向分别规定如下:ab=|a||b|其中是向量a与b的夹角;ab的方向为既垂直a又垂直于b,并且按顺序a,b,:ab=-ba;分配律:(a+b)c=ac+bc;结合律:(ab)=(a)b+ab)(其中为常数).向量积得坐标表示设a=ai+aj+ak,b=bi+bj+bk,则a×b=()i-()j-()k可将a×b表示成一个三阶行列式的形式,计算时,只需将其按第一行展开即可,即a×b=(1)a=b(2)a⊥ba﹒b=0,a+a+a=0(3)a∥ba=ba×b=0其中,“”表示“充分必要条件”。【典型例题】例1设a,b为两个非零向量,为非零常数,若向量a+b垂直于向量b,则等于()(A)(B)-(C)1(D)ab分析:所给向量为抽象向量,宜用向量运算公式。如果a+b垂直于向量b,因此应有(a+b)﹒b=0即a﹒b+b﹒b=0a﹒b+|b|=0由于b为非零向量,因而应有=-,故应选(B)例2设向量=4i-4j+7k的终点B的坐标为(2,-1,7)。求(1)始点A的坐标;(2)向量的模;(3)