苏州市2013届高三调研测试.doc

:连结OP,∵直线l切圆O于点P,∴OP⊥l.(2分)∵AC⊥l,BD⊥l,∴OP∥AC∥=OB,∴PC=PD.(5分)∵OP∥AC,∴∠OPA=∠CAP.(8分)∵OP=OA.∴∠OPA=∠∠CAP=∠OAP.∴AP平分∠CAB.(10分):设α=为矩阵M=属于特征值-=-1×,(2分)∴解得b=-a(由条件知a≠0),x=2.(5分)因此M=.特征方程为λ2-2λ-3=0.(8分)∵λ≠-1,∴λ=3.(10分):A(4,0),B(0,2),AB=+2y-4=0.(2分)设P(4cosθ,2sinθ),==.(5分)∵θ为锐角,∴45°<θ+45°<135°.∴<sin(θ+45°)≤1,0<4sin(θ+45°)-4≤4-=45°时,d取得最大值为.(8分)此时,△PAB面积S取得最大值为×2×=4-4.(10分):∵a、b、x、y都是正数,∴(ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2)+xy(a2+b2)(2分)≥ab(2xy)+xy(a2+b2)(5分)=(a+b)2xy.(8分)∵a+b=1,∴(a+b)2xy=(ax+by)(bx+ay)≥xy成立.(10分):(1)“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率为=.(2分)(2)X的取值为0、1、2,则P(X=0)==;(4分)P(X=1)==;(6分)P(X=2)==.(8分)故X的分布列为:X012P数学期望E(X)=0×+1×+2×=.(10分):(1)由题意,A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),A1(0,0,3),B1(2,0,3),C1(0,4,3).=(1,2,-3),=(0,4,0).(2分)设平面A1C1D的一个法向量为n=(x,y,z).∵n·=x+2y-3z=0,n·=4y=0.∴x=3z,y==1,得x==(3,0,1).(4分)设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ,∵=(1,-2,3),∴sinθ=|cos〈,n〉|==.(6分)(2)设平面A1B1D的一个法向量为m=(a,b,c).=(2,0,0),∵m·=a+2b-3c=0,m·=2a=0,∴a=0,2b==2,得b==(0,3,2).(8分)设二面角B1A1DC1的大小为α,∴|cosα|=cos|〈m,n〉|===,则sinα==.∴二面角B1A1DC1的正弦值为.(10分):连结OD,∵OD=OA,∴∠OAD=∠ODA.∵AD平分∠BAE,∴∠OAD=∠EAD,(3分)∴∠EAD=∠ODA,∴OD∥AE.(5分)又AE⊥DE,∴DE⊥OD,(8分)又OD为半径,∴DE是圆O的切线.(10分):=.(4分)设A(a,b),则由=,得(8分)所以即A(-2,3).(10分):圆C:ρ=2cos,即ρ=-2sinθ,ρ2=-2ρsinθ,(2分)∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=-2y,即x2+(y+1)2=1,∴圆心C(0,-1).(4分)直线l:ρsin=,即ρsinθ+ρcosθ=2,∴直线l的直角坐标方程为x+y=2.(7分)∵圆心C到直线l的距离为d==,(9分)∴动点M到直线l距离的最大值为+1.(10分):∵|x+1|+|x-1|<4,原不等式等价于(2分)解得-2<x<-1或-1≤x≤1或1<x<2,(4分)∴4(a+b)2-(4+ab)2=-a2b2+4a2-16+4b2=(a2-4)(4-b2).∵a、b∈M,即-2<a<2,-2<b<2,∴(a2-4)(4-b2)<0,(8分)∴4(a+b)2<(4+ab)2,∴2|a+b|<|4+ab|.(10分):(1)设Y表示银行工作人员办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布列如下:Y2346PA表示事件“银行工作人员在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”,则事件A对应两种情形:①办理第一位业务所需的时间为2min,且办理第二位业务所需的时间为3min;②办理第一位业务所需的时间为3min,且办理第二位业务所需的时间为2min;∴P(A)=P(Y=2)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=2)=×+×=.(3分)(2)X的取值为0、1、2,X=0对应办理第一位业务所需的时间超过4min,∴P(X=0)=P(Y>4)=,(5分)X=1对应办理第一位业务所需的时间为2min且办理第二位业务所需的时间超过2min,或办理第一位业务所需的时间为3min或办理第一位业务所需的时间为4