Barbalat引理证明.docx

Barbalat引理证明、Barbalat引理的基本形式:引理1 设x:[0,)R为一阶连续可导,且当t 时有极限,则如果X(t),t[0,)一致连续,那么]imX(t)0如果x&t)存在且有界,那么引理1中X(t)的一致连续性条件可用x&t)的有界性来代替,从而可以得到如下形式的引理引理2设x:[0,) R为一阶连续可导,且当t 时有极限,则如果x&t),t [0,)存在且有界,那么limx(t)0可以得到如下推论。t推论1若x:[0,) R一致连续,并且tim0x()d存在且有界,那么limx(t)0。其中引理1的证明如下:因为x(t),t[0,)一致连续,所以:0 0,对任意的t1有:% )x(t1)2另外由limx(t)K可知:t对于给定的,to,当t1to时有:x(tj同理:K-4x(t1)K-4利用泰勒展开则:x(t1)x(tj&)其中:(t」 )所以:x(t1)K x(t1)K双)4由此可知:x&)「心KI则:X&)ti显然:所以由X(t)的一致连续性可知:x&)&训2贝U:x&ti)2 )即:对于0, to,当tito时有:%)由此得证:limX(t)0t二、Barbalat引理的集中变形形式:Barbalat引理的基本形式虽然在一定程度上能判断系统的渐近收敛性,但由于不易与Lyapunov理论相结合,故在实际应用中具有一定局限性。为此,对Barbalat基本形式进行延展和变形,得到如下集中Barbalat引理的表达形式。引理3若x:[0,) R一致连续,且存在p[1,),使得xLp,那么limx(t)0。t1/p注:Lp:{xx:[0, )R,且0x(t)pdt },p[1,)。证明:当p1时,因||x2X』x2xj,则由x的一致连续性可知IX亦为一致连续的。令F(t):Xd,t0。则应用引理1易证F(t)xt,进而得到x(t)的收敛性。当p1时,用反证法证之。假设limx(t)0不成立,那么存在常数 °0,对任意T0,存在tT0,有|x(tj 0。基于此,可以得到无限时间序列ti,i1,2,L,使x(ti) 0,ti。因为x(t)是一致连续的,故对给定的0,存在(0) 0,使得对任意的t,t,t,t[0,)}都有如下关系式:x(t) x(tjti叫扌。由此知,对任意tx(t)x(ti)x(ti)由x(t)的连续性可知在域Bx(t)|pdtti0x(t)pdtx(t)B@{t:tti,t[0,),ti},都有X(ti) ~2,即x(t)内,x(t)恒为正或恒为负,所以,对所有的ti ,tix(t)pdttitipdt2寺,这意味着titipx(t)pdt2步。而已知当t时,pdt存在极限,记为p,Pdtp,故tilimtiAti这与上式相矛盾。x(t)pdtti0x(t)pdttix(t)pdt引理4设x:[0,)R平方可积,tim0x2()d,则如果x(t),t[0,)存在且有界,那么limx(t)0。t引理5设x:[0,)R为Lp,p[1,)的,且双t),t [