《全等三角形》常见的辅助线作法例题精讲.docx

《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。2、 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。3、 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、 特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答。一、倍长中线(线段)造全等(一)例题讲解例1、(“希望杯”试题)已知,如图ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围。分析:本题的关键是如何把AB,AC,AD三条线段转化到同一个三角形当AE中。解:延长AD到E,使DE二DA,连接BE又VBD=CD, .BDE二■CDA•••BDE=CDASAS,BE=AC=3TAB-BEAEAB-BE(三角形三边关系定理)即22AD8经验总结:见中线,延长加倍。例2、如图,ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE_DF,D是中点,试比较BECF与EF的大小。连接BG、EGAG证明:延长FD到点G,使DG二DF,•/BD=CD,FD=DG,-BDG-CDFBDG=CDFBG二CF/DE—DFEF=EG在BEG中,BEBG'EG/BG=CF,EF二EG•'•BECF-EF例3、如图,JABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证::利用相似论证。证明:•••BD=DC=AC1AC BC2••E是DC中点1 1EC DCAC,乙ACE:._BCA2 2•BCAs.:ACE•上ABCZCAEAC=DC•••ADC-•DAC,ADC-ABC•BAD•••ABC•BAD-•DAE•CAEBAD»:利用全等论证。证明:延长AE到M,使EM二AE,连结DM易证DEM三CEA•C=/MDE,AC=DM又VBD二DC=AC•BD=DM,-ADC=CAD又•NADBZC CAD,/ADM^MDE^ADC二ADM二ADB•ADM二ADB二BAD“(二)实际应用:1、(20GG崇文二模)以遊的两边AB、AC为腰分别向外作等腰R2ABD和等腰RtACE,.BAD-CAE=90,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点。探究:AM与DE的位置关系及数量关系。(1)如图1当ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是 ,线段AM与DE的数量关系是 ;(2)将图1中的等腰RLABD绕点A沿逆时针方向旋转(0 90)后,如图2所示,(1)问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由MG二AM,连BG,贝UABGC是平行四边形.•.AC=BG,NABG+NBAC=180°又TDAEBAC=180ABG二DAE再证:DAE==2AM, -BAG“EDA延长MN交DE于HBAG/DAH=90HDADAH=(2):如图,延长CA至F,使AC二FA,FA交DE于点P,并连接BF:DA_BA,EA_AF•上BAF=90ZDAFZEADFE•••在FAB和EAD中‘FA=AE0AF=NEADBA=DA•••FAB三EAD(SAS)•'•BF=DE, -F=■AEN•上FPDZF/APEWAEN=90•FB_DE又TCA=AF,CM=MB•AM//FB,且AM=1FB21•AM_DE,AMDE2二、截长补短(一)例题讲解例1、如图,「ABC中,AB=2AC,AD平分•BAC,且AD二BD,求证:CD—AC证明:过D作DM—AB,垂足为MCAMD-BMD=90又TAD=BD,DM=DMADM=BDMAM=BMAB=2ACAC=AMTAD平分/BAC•=.=AM,二BADZCAD,AD=AD•••.ADM"ADC••••ACD=.ADM=90即:CD_AC