《利用向量法求空间角》教案.docx

§323立体几何中的向量方法利用空间向量求空间角教学目标使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法;使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题;使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高教学重点求解二面角的向量方法教学难点二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系教学过程一、复****引入1•用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; (化为向量问题)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 (回到图形)向量的有关知识:(2)两向量夹角公式:cosa,bab|a||b|(1)两向量数量积的定义: ab|a||b|cosa,b(3)平面的法向量:与平面垂直的向量、知识讲解与典例分析知识点1:面直线所成的角(范围: (0-])定义:过空间任意一点o分别作异面直线所成的锐角或直角,叫做异面直线a与b所成的角用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为a和b,问题1:当a与b的夹角不大于90°时,异面直线的角与a和b的夹角的关系?—&问题2:a与b的夹角大于90°时,,异面直线a、—¥■ —*与a和b的夹角的关系?a、b所成a,b|Imn|1—~|m||n|z结论:异面直线a、b所成的角的余弦值为cos|cosm,n思考:在正方体ABCDA1B1C1D1中,若Er与F1分别为A-iB1、CiD-的四等分点,求异面直线DF-与BE-的夹角余弦值?(1)方法总结:①几何法;②向量法(2)cosDF1,BE1与cosDF1,E1B相等吗?(3) 空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别?例1如图,正三棱柱ABCABG的底面边长为a,侧棱长为V2a,求A®:。2. 利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解:如图建立空间直角坐标系 Axyz,则aZ^^3\b1* <jA(0,0,0),G(子aga「2a),C(于aga,0),B1(0,a,'.2a)AC1(3a,^a,.2a),CB122(三a^a^a)22即cosAC1,CB1AC1CB1|AC1||CB1|3a2AC1和CB1所成的角为一3练****1:在Rt△AOB中,/AOB90°现将△AOB沿着平面AOB勺法向量方向平移到△AOB的位置,已知O/=OB=OO取AB、AO的中点D、F1,求异面直线BD与AF所成的角的余弦值。解:以点O为坐标原点建立空间直角坐标系,并设 OA=1,1 1 1则A(1,0,0) ,B(0,1,0) ,F1(—,0,1) ,D(—, —,1)2 2 2111AF1 ( ,0,1),BD1 (-,2,1)cosAF1,BD1AF1BD1|AF1||bd1|■3010所以,异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为知识点2、直线与平面所成的角(范围:[0,m)据图分析可得:结论:sin|cosn,AB|例2、如图,正三棱柱ABCABG的底面边长为a,,求AC1和面AA1所分析:求以上两个向量的夹角,(锐角)其余角为所求角uuuuAC1解:如图建立空间直角坐标系Axyz,则AAi(0,0,2a),