高二关于求阿基米德三角形面积最小值的解法.docx

阿基米德三抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形。角形有一些有趣的性质,如若抛物线的弦过焦点,则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上。设抛物线y2=2px(p>0),弦AB过焦点,△ABQ为其阿基米德三角形,则△ABQ的面积的最小值为 。_P £解:抛物线y2=2px(p>0)的焦点F②0),可设直线AB的方程为x=ty+J,代入y2=2px得y2—2pty—p2=0设点A(xi,yi),B(X2,y2)(yi>0,y2<0)贝9yi+y2=2pt,yiy2=—p2,|AB|=|FA|+|FB|=(xi+P)+(x2+」)=xi+X2+py/芝; "i*珥)」£珀坯 tzpt)!十即[=2卩+即+p= 2卩 +p=即+p=2p(1+t2)y/ pPh-H,设切线AQ:y=ki(x—环)+yi=kix+—环—,代入y2=2px得,(kix+ 即)—2px,整理得X+=0ki2x2+财p冲亦)1=0,整理(两同乘;,再用平方差公式)(4pfe1y1 2p2) (-2p2)=0=0, (kiyi—p)2=0,ki=',从而切线AQ的方程:y=设切线BQ:y=k2(x—X2)+y2=k2(x—即)+y2,同理可得,k2=切线BQ的方程:联立①②,解得(y=—=pL于是点Q(,pt),其到直线AB的距离d==pT1+?2 ■I山、亍L2从而S△ABQ=-|AB|-d=P⑴t)>P可见t=0(即直线AB:x=与x轴垂直)时取等号,△ABQ的面积最小值为p2延伸:点Q坐标:(,pt)表明点Q在抛物线准线上,2_L=_=_bL=_]从kiK2=儿儿一儿$厂一,可知切线AQ、BQ互相垂直。