高中数学向量专题.doc

高中数学向量专题
【本章学习目标】
,掌握向量的几何表示,,理解两个向量共线的充要条件.
 
,掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并能熟练运用,,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.
 
,理解平面向量的坐标的概念,、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形.
向量是高中数学的新增内容,作为数形结合的有力工具,它的应用极其广泛,在复数、平几、解几、立几、物理等知识中均有涉及.
本章在系统地学面向量的概念及运算的基础上,突出了向量的工具作用,利用向量的思想方法解决问题是本章特点的一个方面,向量本身具有数与形结合的双重身份,,继续提高运用所学知识解决实际问题的能力.
 
【基础知识精讲】

既有方向,. 表示从点A到B的向量(即A为起点,B为终点的向量),也可以用字母a、b、c…等表示.(印刷用黑体a、b、c,书写用、、注意:长度、面积、体积、质量等为数量,位移、速度、力等为向量).

所谓向量的大小,就是向量的长度(或称模),记作||或者||.向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
:长度为0的向量称为零向量,用表示. 向量的方向是不定的,或者说任何方向都是向量的方向,因此向量有两个特征:一长度为0;.
、共线向量
,:.
由于任何一组平行向量都可移到同一直线上,,若四边形ABCD是平行四边形,则向量与是一组共线向量;向量与也是一组共线向量.

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,若向量与向量相等,记作=.零向量与零向量相等,任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
【重点难点解析】
通过本节学习,应该掌握:(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念;(2)掌握向量的几何表示,会用字母表示向量;(3)了解平行向量的概念及表示法,了解共线向量的概念.
例1 判断下列各命题是否正确
(1)若||=||,则=
(2)若A、B、C、D是不共线的四点,则=是四边形ABCD是平行四边形的充要条件.
(3)若=,=,则=
(4)两向量、相等的充要条件是
(5)||=||是向量=的必要不充分条件.
(6) =的充要条件是A与C重合,B与D重合.
解:(1)不正确,两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
(2)正确.∵=,∴||=||且∥.
又A、B、C、D是不共线的四点.
∴四边形ABCD是平行四边形,反之,若四边形ABCD是平行四边形则∥DC,且与方向相同,因此=.
(3)正确.∵=
∴,的长度相等且方向相同;
又∵=
∴,的长度相等且方向相同.
∴,的长度相等且方向相同,故=
(4)∥,但方向相反,即使||=||,也不能得到=,故
不是=的充要条件.
(5)=,但=||=||,所以||=||是=的必要不充分条件.
(6)=时,应有:||=||及由A到B与由C到D的方向相同,但不一定要有A与C重合、B与D重合.
说明:①针对上述结论(1)、(4)、(5),我们应该清醒的认识到,两非零向、相等的充要条件应是、的方向相同且模相等.
②针对结论(3),我们应该理解向量相等是可传递的.
③结论(6)不正确,告诉我们平面向量与相等,.
例2 如图所示,△ABC中,三边长|AB|、|BC|、|AC|均不相等,E、F、D是AC,AB,BC的中点.
(1)写出与共线的向量.
(2)写出与的模大小相等的向量.
(3)写出与相等的向量.
解:(1)∵E、F分别是AC,AB的中点
∴EF∥BC
从而,与共线的向量,包括:
,,,,,,.
(2)∵E、F、D分别是AC、AB、BC的中点
∴EF=BC,BD=DC= BC.
又∵AB、BC、AC均不相等
从而,与的模大小相等的向量是:、、、、