空间向量巧解平行、垂直关系.docx

噪程信息高中数学空间向量巧解平行、垂直关系编稿老师刘咏霞\一校黄楠i二校i杨雪 审核i郑建彬ttB***輛左购诵彌目标荷細佚】」、考点突破知识点课标要求题型说明空间向量巧解平行、垂直关系能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直。理解直线的方向向量与平面的法向量。能用向量方法解决线面、面面的垂直与平行问题,体会向量方法在立体几何中的作用。选择题填空题解答题注意用向量方法解决平行和垂直问题中坐标系的建立以及法向量的求法。、重难点提示重点:用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。难点:用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。血罢点犒讲【审难要点点舷《】考点一:直线的方向向量与平面的法向量l的方向向量。1•①一条直线的方向向量有无数多个,一个平面的法向量也有无数多个,且它们是共线的。②在空间中,给定一个点 A和一个向量a,那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的。【随堂练****1),则平面ABO的一个法向量的单位向量已知A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,是()A.(1,1,1).(3,3,3)333思路分析:设出法向量坐标,列方程组求解。答案:设平面ABC勺一个法向量为n=uuuABnuULT uuu1,0),AC=(—1,0,1),D.(),23J3-3-3-3-3uuuABuuu=(o,—i,i),BO=(-i,0,二X=y=z,又•••单位向量的模为1,故只有B正确。技巧点拨:(1)(2)(3)般情况下,使用待定系数法求平面的法向量,步骤如下:设出平面的法向量为n=(x,y,z)。找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a=(a1,根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组nanbbi,ci),b=(a2,b2,C2)。00.(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量。用向量法证明空间中的平行关系、垂直关系线线平行设两条不重合的直线l,m的方向向量分别为 a=(a,b,e),b=(a2,b2,C2),贝Ul// n? a// b? (a1, b,cj=k (a2, b, C2)线面平行设1的方向向量为a=(a1,b1,C1),a的法向量为u=(a2,b2,C2),贝Ul//a?aXu?a•u=0?a1a2+b1b?+C1C2=0面面平行设a,卩的法向量分别为u=(a1,b1,C1),v=(a?, b2, C2),则a//3?u/v? (a1,b1,C1)=k(a2, b2,C2)线线垂直设两条不重合的直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b,C1),b=(a2,b2,C2),贝Ul丄n?a丄b?a•b=0?a©+b1b2+C1C2=0线面垂直设1的方向向量为a=(a1,b1,C1),a的法向量为u=(a2,b2,C2),则1丄a?a/u?a=ku?(a1,b,cj=k(a2,b2,C2)(k€R)面面垂直设a,3的法向量分别为u=(a1,b1,C1),v=(a?,b2,C2),贝Ua丄3?u丄v?u-v=0?a1a2+b1b2+C1C2=0【核心突破】用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用,体现了向量的工具性,这种方法可把复杂的推理证明、 辅助线的作法转化为空间向量的运算, 降低了空间想象演绎推理的难度,体现了由“形”转“数”的转化思想。用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” :建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题。通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题。< 丿把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。Z典例髓斶【加吃关】例题1(浙江改编)如图,在四面体A—BCD中,ADL平面BCDBCLCDAB2,BD=2J2,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC证明:PQ/平面BCD思路分析:利用直线的方向向量和平面的法向量垂直证明线面平行。答案:证明:如图,取BD的中点0,以0为原点,0D0P所在射线为建立空间直角坐标系0-xyz。y、z轴的正半轴,由题意知,A(0,J2,2),B(0,—J2,0),D(0,42,0)。uuir umr 3 J2设点C的坐标为(xo,yo,0)。因为AQ3QC,所以Q-x0^£4 4因为M为AD的中点,故M(0,2,1),又P为BM的中点,故P0,0,-2uuu所以PQ=3 .24X0,G3卩0,°。uuu1),故PQ•a=0。又平面BCD的—个法向量为a=(0,0,又PQ平面BCD所以PQ/平面BCD技巧点拨:解决此类问题的依据是要根据线面平行的判定定理, 可证直线的方向向量与平面内某一向量平行,也可证直线的方向向量与平面的法向量垂直