20秋西南大学[0346]《初等数论》作业辅导资料.docx

概念解释题一、,如果是合数,请给出其标准分解式。,为什么?。,并写出小于18的所有质数。。,为什么?二、给出不定方程ax+by=c有整数解的充要条件并加以证明。三、给出有关同余的一条性质并加以证明。四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。作业1答案一、简答题(每小题10分,共30分),如果是合数,请给出其标准分解式。答:30是合数,其标准分解式为。,为什么?答:94536是9的倍数,因为是9的倍数。。答:模6的最小非负完全剩余系为0,1,2,3,4,5。,并写出小于18的所有质数。答:一个大于1的整数,如果它的正因数只有1和它本身,就叫作质数。小于18的所有质数是2,3,5,7,11,13,17。。答:0,1,2,…,m-1称为m的最小非负完全剩余系。,为什么?答:2358是3的倍数。因为一个整数能被3整除的充要条件是它的各个位数的数字之和为3的倍数,而2+3+5+8=18,18是3的倍数,所以2358是3的倍数。二、给出不定方程ax+by=c有整数解的充要条件并加以证明。解:结论:二元一次不定方程ax+by=c有整数解的充要条件是。证明如下:若ax+by=c有整数解,设为,则但,,因而,必要性得证。反之,若,则,为整数。由最大公因数的性质,存在两个整数s,t满足下列等式于是。令,则,故为ax+by=c的整数解,从而ax+by=c有整数解。三、给出有关同余的一条性质并加以证明。答:同余的一条性质:整数a,b对模m同余的充要条件是m|a-b,即a=b+mt,t是整数。证明如下:设,,,。若a≡b(mod m),则,因此,即m|a-b。反之,若m|a-b,则,因此,但,故,即a≡b(mod m)。四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。答:若a,b是两个整数,其中b>0,则存在两个整数q及r,使得a=bq+r,成立,而且q及r是唯一的。下面给出证明:证作整数序列…,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,…则a必在上述序列的某两项之间,及存在一个整数q使得qb≤a<(q+1)b成立。令a-qb=r,则r为整数,且a=qb+r,而。设是满足(2)的另两个整数,则,所以,于是,故。由于r,都是小于b的正整数或零,故。如果,则,这是一个矛盾。因此,从而。。。。4.{}=。5.[]+[-]=。。,是偶数的是。,最小的奇质数是。。。。。。。。。。18.(1516,600)=。