高数3函数极限定义性质及无穷大小.ppt

华师在纬定义性质及无穷大小FutureLearning第一节函数的极限前面讨论了数列xn=f(m)的极限,它是函数极限中的特殊情形,特殊性在于:n只取自然数,且n趋于无穷大现在讨论f(x的极限,自变量x大致有两种变化形式.(1)x>∞,(2)x>x(有限数)并且,x不是离散变化的,而是连续变化的华匝在线一、x-0时,fx)()在M+∞或(=,-MD内有定义若Vs><-X)时,If(o-ak<e则称常数a为f(x)当x-→)+∞(或x→>-∞)时的极限,记作imf(x)=a也可记为f(x)>a,(x)+∞)(im了(x)=a也可记为f(x)→)a,(x->-∞)x→华匝在线将这个定义和数列极限定义相比较,就是将xnf(n)换成了f(x)将“彐正整数N换成“彐实数X>,数列极限中n是离散变化的,/(x)在(-,-MM,+∞)内有定义若∨E>0,3X>0,当xX时,相应的函数值满足If(x)-ak<a记作则称a为f(x)当x->∞时的极限,limf(x)=a或f(x)→a,(x→)∞)由定义1,2可知limf()=aslimf(x=limf(x)=华师在线limf(x)=a的几何意义按定义作直线y=aE(v>0,存在X>0当x|>X时,y=f(x)的图形夹在两直线y=a土E之间如图华匝在线比如,由y=arctanx的图象可知,limarctanxx-+limarctanxx)-00—2y=arctx而limarctanx不存在2华匝在线二、当x→x0时,f(x)的极限若当x>x时,对应的函数值/(x)->a,则称是f(x)当x→x时的极限,如何用精确的数学语言刻划这一事实?f(x)-xa可用f(x)-akE刻划,而x→>x则可用x-x0k<6刻划华匝在线定义3设f(x)在x0的某个去心邻域U(x)内有定义若时,相应的函数值f(x)满足则称常数a为f(x)的当x>x0时的极限,记作华匝在线imf(x)=a,或f(x)→a、x→x)x-)x0此时也称当x→>a时,f(x)的极限存在,否则,称当x→a时,f(x)的极限不存在imf(x)=a的几何意义是华匝在线