专题：基本不等式常见题型归纳(教师版).doc

专题函数常见题型归纳三个不等式关系:(1)a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.(2)a,b∈R+,a+b≥2,当且仅当a=b时取等号.(3)a,b∈R,≤()2,当且仅当a=+b2,ab,a+,基本不等式及其变形:a,b∈R+,a+b≥2(或ab≤()2),当且仅当a=b时取等号,所以当和为定值时,可求积的最值;当积为定值是,:一正、二定、三等号.【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】(扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11)已知且,则的最小值为.【解析】∵且∴,解得或,∵∴,即..练****1.(南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10)若实数满足,且,:由log2x+log2y=1可得log2xy=1=log22,则有xy=2,那么==(x-y)+≥2=4,当且仅当(x-y)=,即x=+1,y=-1时等号成立,.(苏北四市(、、、宿迁)2017届高三上学期期末)若实数满足,.(无锡市2017届高三上学期期末)已知,且,则的最小值为.【典例2】(南京市2015届高三年级第三次模拟·12)已知x,y为正实数,则+:由于+===1+=1+≤1+=,当且仅当4=,即y=2x时等号成立.【典例3】若正数、满足,:由,得,解得(当且仅当且,即时,取等号).变式:,且满足,:因为,所以由,,解得(当且仅当且,即时,取等号).,,,,则的最大值为_________4.(苏北四市(、宿迁、、)2017届高三上学期期中)已知正数,满足,则的最小值为【题型二】含条件的最值求法【典例4】(苏州市2017届高三上期末调研测试)已知正数满足,则的最小值为练****1.(江苏省镇江市高三数学期末·14)已知正数满足,:对于正数x,y,由于+=1,则知x>1,y>1,那么+=(+)(1+1--)=(+)(+)≥(+)2=25,当且仅当·=·.(2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查(一)·11)已知正数满足,:,当且仅当时,:.(南通市2015届高三第一次调研测试·12)已知函数的图像经过点,如下图所示,:由题可得a+b=3,且a>1,那么+=(a-1+b)(+)=(4+++1)≥(2+5)=,当且仅当=.(江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12)己知a,b为正数,且直线与直线互相平行,则2a+3b的最小值为________.【解析】由于直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平行,则有=,即3a+2b=ab,那么2a+3b=(2a+3b)·=(2a+3b)(+)=++13≥2+13=25,当且仅当=,即a=,b和正变量x,y满足ab=16,+=.若x+2y的最小值为64,则ab=:64;(考查基本不等式的应用).,:【题型三】代入消元法【典例5】(苏州市2016届高三调研测试·14)已知,,:由得,.(江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12)设实数x,y满足x2+2xy-1=0,则x2+:由x2+2xy-1=0可得y=,那么x2+y2=x2+=x2+-≥2-=-,当且仅当x2=,即x4=.(苏州市2014届高三调研测试·13)已知正实数x,y满足,则x+:∵正实数x,y满足xy+2x+y=4,∴(0<x<2).∴x+y=x+==(x+1)+﹣3,当且仅当时取等号.∴x+:.3.(南通市2014届高三第三次调研测试·9)已知正实数满足,:∵正实数x,y满足(x﹣1)(y+1)=16,∴,∴x+y=,当且仅当y=3,(x=5)时取等号.∴x+:.(扬州市2017届高三上学期期中)若,且,则使得取得最小值的实数=。、y满足x+2xy-1=0,则x+,且,,求的最大值为______【题型四】换元法【典例6】(南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试·13)已知函数f(x)=ax2+x-b(a,b均为正数),不等式f(x)>0的解集记为P,集合Q={x|-2-t<x<-2+t}.若对于任意正数t,P∩