(完整版)分部积分法教案.docx

分部积分法教学目的:使学生理解分部积分法,掌握分部积分法的一般步骤及其应用。重点:分部积分法及其应用难点:在分部积分法中,要恰当的选取U和v教学方法:讲练法0回顾灵活的运用第上几节课我们学****了不定积分的求法,要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、一换元积分法(凑微法)③熟练、灵活的运用第二换元积分法。凑微法:实质是在被积函数中凑出中间变量的微分;f(x)dxf[(x)]'(x)dxf[(x)]d[(x)]令u(x)f(u)duF(u)CF[(x)]C第二换元积分法:关键是通过适当的变量替换 x(t),使得难求的积分易求f(x)dx令x(t)f[(t)]'⑴dtf[(t)]d(t)F[(t)]CF(x)C1引入用我们已经掌握的方法求不定积分 xcosxdx分析:①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。②凑微法失效。xcosx③第—1类换兀积分法解:ost1-dt更为复杂-1t所以凑微法和第二换元积分法都失效。v为两个函数)反之考虑,两函数乘积的积分不会,但两函数乘积的求导我们会,比如: (假设u、已知:(uv)'u'vuv'对上式两边积分得: uvu'vdxuv'dx移项得:uv'dxuvu'vdx观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式,注意: uv'dx中v'为导数形式。故,我们可以尝试来解一下上面的积分。xcosxdx先要化的和要求积分的形式一样x(sinx)'dxxsinx x'sinxdxxsinxcosxC真是:山重水复疑无路,柳暗花明又一村。通过上面的方法,我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法” 。(x)和vv(x)及都具有连续的导数,则有分部积分公式:uv'dxuvu'vdx(或udvuvvdu)说明:①两函数的积分等于将其中一个放在 d里后,里外相乘减去换位的积分。内外积减去换位“积”。步骤:a放d中,b、套公式。:xsinxdxxsinxdxxd(cosx)①放d中xcosxcosxdx②套公式xcosxsinxC3U、V的选取问题例2求不定积分exxdx解:exxdxx 1 2、ed(-x)22x 1 xde22x 1 x2,xe exdx2容易发现使用分部积分公式后,变得更加复杂了,是我们的公式用错了吗?不妨换个角度看问题:exxdxxdexx xxeedxxxxeeC发现问题解决了,问题出在哪里?观察发现,这两种做法的不同之处在于把谁放在 d里,换句话说就是则样选择u和v的问题,由上面的例看出运用分部积分公式时恰当的选择 u和v是十分重要的,选对了可以轻松解题,选错了,轻则解题复杂,重则解不出结果。那么应该如何选取 u和v的呢?我们来看一下公式 udvuvvdu,要把v放在d中首先要对v积分,所以v要便于积分;而u要进行求导,所以u便于求导;实际上关键是v,v定了,u怎然定了。所以U、V选取的原则是:v便于积分,u便于求导。例3求不定积分xlnxdx分析:对于x和Inx来说明显的x便于积分,故选lnx做uxlnxdxInxd(1x2)2