勾股定理的九种证明方法附图.doc

.勾股定理的证明方法一、传说中毕达哥拉斯的证法(图1)左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、,斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、,斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是),所以可以列出等式,化简得。二、美国第20任总统茄菲尔德的证法(图3)这个直角梯形是由2个直角边分别为、,斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积,所以可以列出等式,化简得。三、相似三角形的证法::在学****了相似三角形以后,我们知道在直角三角形中,斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三A角形相似。如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°。作CD⊥AB,垂足为D。则△BCD∽△BAC,△CAD∽△BAC。2由△BCD∽△BAC可得BC=BD×BA,①D2=AD×AB。AD由△∽△可得②BC1/,把①、②两式相加可得AD+BB)+A=AAD+BD=A=A因此B+A,这就=+。这也是一种证明勾股定理的方法,而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识四、古人的证法如图,将图中的四个直角三角形涂上深红色,把中间小正方形涂上白色,,以,他肯令出入相补,各从其为边的正方形称为弦实,然后经过拼补搭配勾股各自乘,并之为弦实,开方了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。赵爽对勾股定理的证明,显示了我国数学家高超的证题思想,之,即弦为简明、直观五、项明达证法b>作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别a、把它们拼成如图所示的多边形,..C三点在一条直线上A、,交ACQP过点Q作∥;再过点PQ,垂足为M过点B作BM⊥N.,垂足为⊥PQF作FNBC,BCA=90°,QP∥∠∵MPC=90°,∴∠,BM⊥PQ∵,∠BMP=90°∴.是一个矩形,即∠MBC=90°∴BCPMQBA=90°∠,QBM+∵∠∠MBA=MBC=90°MBA=ABC+∠∠∠,2/5.∴∠QBM=∠ABC,又∵∠BMP=90°,∠BCA=90°,BQ=BA=c,∴RtΔBMQ≌≌^2+b^2=c^2六、欧几里德射影定理证法:如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AD是斜边BC上的高,通过证明三角形相似则有射影定理如下:1)(BD)^2;=AD·DC,(2)(AB)^2;=AD·AC,(3)(BC)^2;=CD·AC。由公式(2)+(3)得:(AB)^2;+(BC)^2;=AD·AC+CD·AC=(AD+CD)·AC=(AC)^2;,即(AB)^2;+(BC)^2;=(AC)^2七、杨作玫证法:做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),⊥AC,AF交GT于F,⊥AF,,垂足为E,DE交AF于H.∵∠BAD=90o,∠PAC=90o,∴∠DAH=∠∵∠DHA=90o,∠BCA=90o,DGaAD=AB=c,≌ΔDHARt∴Rt12b9.,AH=AC=