第07招 函数的奇偶性的判断和证明.doc

【知识要点】一、函数的奇偶性的定义对于函数,其定义域关于原点对称,如果恒有,那么函数为奇函数;如果恒有,、奇偶函数的性质1、奇偶函数的定义域关于原点对称;2、偶函数的图像关于轴对称,奇函数的图像关于原点对称;3、偶函数在对称区间的增减性相同,奇函数在对称区间的增减性相反;4、奇函数在原点有定义时,、判断函数的奇偶性的方法判断函数的奇偶性的方法,一般有三种:定义法、和差判别法、、定义法首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求;最后比较和的关系,如果有=,则函数是偶函数,如果有=-,则函数是奇函数,、和差判别法对于函数定义域内的任意一个,若,则是奇函数;若,、作商判别法对于函数定义域内任意一个,设,若,则是奇函数,,则是偶函数.【方法讲评】,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求;最后比较和的关系,如果有=,则函数是偶函数,如果有=-,则函数是奇函数,否则是非奇非偶函数.【例1】判断下列函数的奇偶性.(1)(2)【点评】(1)判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数是非奇非偶函数.(2)函数的定义域关于原点对称,是函数为奇偶函数的必要非充分条件.(3)函数的定义域求出来之后,还要注意在解题中应用,.【例2】定义在实数集上的函数,对任意,有且①求证: ②求证:是偶函数【解析】证明:①令,则∵∴②令,则∴∴是偶函数【点评】对于抽象函数的奇偶性的判断,和具体函数的判断方法一样,不同的是,由于它是抽象函数,所以在判断过程中,多要利用赋值法,常赋一些特殊值,*网【例3】判断函数的奇偶性【点评】(1)对于分段函数奇偶性的判断,也是要先看函数的定义域,再考虑定义,由于它是分段函数,所以要分类讨论.(2)注意,当求要代入下面的解析式,因为,不是还代入上面一段的解析式.【反馈检测1】已知(1)判断的奇偶性;(2)求的值域.【反馈检测2】已知函数定义域为,若对于任意的,都有,且时,有.(1)证明函数是奇函数;(2)讨论函数在区间上的单调性;(3)设,若,对所有,恒成立,,若,则是奇函数;若,则是偶函数.【例4】判断函数的奇偶性.【点评】和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式,但是利用定义判断,计算较为复杂,利用和差判别法可以化繁为简,简捷高效.【反馈检测3】已知函数.(1)求的定义域;(2)判定的奇偶性;(3)是否存在实数,使得的定义域为时,值域为?若存在,求出实数的取值