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作图法来自qq群：428880494第十三节作图法高中数学的最大特点之一就是“数形合一”,通过形的直观描述来帮助思考数的问题,同时通过数的精确刻画来推导形的正确结论,使代数问题、几何问题相互转化。对于一些含有几何背景的题目,若能“数中思形”、“以形助数”,则往往可以借助图形的直观性,迅速作出判断,简捷地解决问题,得出正确的结果。Venn图,三角函数线,函数的图像及方程的曲线等,都是常用的图形。这些图形可以将题目中的数量关系以及空间结构准确形象地展示出来,使抽象的问题变得具体,化繁为简,便于解决数学问题。【例1】已知向量a,b的夹角为,且,,则向量与向量的夹角等于______.【解法一】因为向量a,b的夹角为且,所以又所以因为向量夹角的范围是,所以向量与向量的夹角等于.【解法二】以O为起点,作向量,,则如图1,延长OB到C,使得,以OA,OC为邻边构造平行四边形OADC,,所以平行四边形OADC是菱形,因此OD平分,所以,即向量与向量的夹角等于.【点评】本题是一道平面向量求夹角的常规题目,看似简单,,直接利用向量加法的平行四边形法则,充分利用已知条件转化为图形得特点进行分析,,解决此类问题我们可以选择“选画后算”的思路分析,利用向量加法、减法及数乘向量的图形运算法则,充分挖掘图形的特点,简化计算过程.【例2】在平面内,定点A,B,C,D满足,-2,动点P,M满足,,则的最大值是()(A)(B)(C)(D)【解法一】因为,所以D是ΔABC的外心,又,所以,即同理,,,所以D是ΔABC的垂心,因此,ΔABC是等边三角形又因为-2,所以=2,且,以D为原点,与BC平行线为x轴,BC中垂线为y轴建系如图2,则,,因为1,则点P的轨迹是以A为圆心1为半径的圆,,所以M是线段PC的中点,即,所以故答案选B.【解法二】前同解法一,取线段AC的中点N,则点N的坐标为(如图3)因为M,N分别是线段PC,AC的中点,所以所以点M在以N为圆心,为半径的圆上,因此所以的最大值为.【点评】本题是一个典型的平面向量问题,源于教材,并高于教材。如题干中的,-2两个条件是以人教A版《必修4》第二章总复****题B组的第5题和第8题为背景的;题干中动点P,M满足,含有任教A版《必修2》,通常可以从“几何意义法”,“坐标表示法”,因此做题时首先应根据题意尝试作出图形,,画出图形不难发现点B是不变的,点M在以N为圆心为半径的圆上,那么求解的最大值就可以转化为圆上动点到圆外定点间最大距离的常规问题上来.【例3】已知的直线上一点,PA和PB是圆的两条切线,切点为A,B两点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为()(A)3(B)(C)(D)2【解析】把圆的方程从一般式化为标准形式得,所以圆心,,连接PC,易得四边形PACB的面积S=2SΔPBC,所以若四边形PACB的面积的最小值是2,,所以的最小值是2,此时最小,易知的最小值为圆心到直线的距离d,又,即k2=4,因为k>0,所以k=2,故本题选D.【点评】直线与圆中的最值问题主要包含两个方面:一是参量的取值范围,由直线和圆的位置关系或几何特征,引起的参量如k,b,r的值变化。此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数。二是长度或面积等几何要素的最值,由于直线或圆的运动,引起的这些几何要素量的变化。此类问题主要是建立关于参数如k或b,r的函数,运用函数或基本不等式求最值。而利用图形的优势分析这些问题,我们会发现其实最值经常在一些特殊位置取得,这样就可以简化我们的计算过程。相似的背景下,我们还可以解决这样的问题:已知Q为圆C:上一动点,则点Q到直线距离的最小值是____;A(0,1),B(2,3)为直线y=x+1上两点,SΔQAB的最小值是____;由直线y=x+1上一动点P向圆C引切线,则切线长的最小值是____;已知P为直线y=x+1上一动点,过P作圆C的切线PA,PB其中,A、B为切点,则当线段PC长是____,最大;过点(1,)的直线l将圆C分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率是____;当直线l截得的弦最短(或最长)时,直线l的方程是____等等这些问题,利用本题的解题策略,均可以试着求解。【例4】一动圆P与外切,同时与圆内切,则动圆P的轨迹方程是_____;若点M是上的动点,点,则当P的坐标为_______时,的最大值是_______.【解析】设,由题意可知,又,则,所以由椭圆定义得P的轨迹为椭圆