华东师范大学数学分析试题及解答.docx

华东师范大学 数学分析考研试题一、判别题(6*6=30 分)(正确的说明理由,错误的举出反例) an n 1 收敛的充要条件是对任意  0 ,存在正整数 N ,使得当 n N 时,恒有 a2nan      。 f(x,y)在 (x ,y )处可微,则在 (x ,y )的某个邻域内0 0 0 0f  f,  存在。x   f(x)在 a,b 上连续,且baf x dx  0 ,则 f(x)在 a,b 上有零点。n 1a 收敛,则nn 1an 收敛。nx   x0  y  y0y   y0 x   f(x,y)在 (x ,y )的某个邻域内有定义且0 0lim lim f x,y lim lim f x,y f x ,y ,0 0则 f(x,y)在 (x ,y )处连续。0 06. 对任意给定的 x0R ,任意给定的严格增加正整数列 n ,k 1,2, ,存在定义在 Rk上的函数 f(x)使得 f(nk)(x ) 0,k 1,2, ,( f(k)(x )表示 f(x)在点 x 处的 k 阶导0 0 0数)。二、计算题 (10*3=30 分)(计算应包括必要的计算步骤)1   (x   1)sinx  4   limx 0ex 11.x eu cosvz z  z z x,y 为由方程组 y eu sinv 所确定的隐函数。求 , , .x y x yz Six 1      y 2      z 3dydz      dzdx      dxdy, 其中r3        r3        r3rx 1 2   y 22z 3 2 ,S  :x   1     y 2     z   3    1 , S  :x   1  2 y 2     z   32 2 2积分沿曲面的外侧。三、证明题(14*6=84 分)1 22             21       2       3    1 ,1n               (n   1) a 收敛于 A (有限数)。证明:nn 11lim (a 2an n 12na )  f(x)在 a,b 上的不连续点都是第一类间断点。证明: f(x)在 a,b 上有界。求证:存在 0 ,使得在 a,b 上有 f(x) . a,b 上,函数列 f (x) 一致收敛于 f(x),函数列 g (x)一致收敛于 g(x)。n n证明:函数列 max f (x),g (x) 一致收敛于 max f(x),g(x) 。n  an n 1为 a,b 中互不相同的点列,a 为函数 f (x) 在 a,b 上的唯一间断点。n n设 f (x):n 1,2, 在 a,b 上一致有界,即存在正数 M 使得 f (x) M 对所有n n的 n 与所有 x a,b 均成立。证明:函数 h xn 1f xn2 n在 a,b 内的间断点集为 a :n 1,2, 。 f xne n cosnx,x  0,2  ,证明:n 1(1) f(x)在 0,2 上连续; (2) f (x)在 0,2 上存在且连续;(3) max f x0 x 2ee 1 2。