求动点的轨迹方程(方法例题习题附标准答案).docx

求动点的轨迹方程(例题****题与答案)在中学数学教学和高考数学考试中,求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容(求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于:求轨迹方程时,题目中没有直接告知轨迹的形状类型;而求曲线的方程时,题目中明确告知动点轨迹的形状类型)。求动点轨迹方程的常用方法有: 直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等;求曲线的方程常用“待定系数法”。求动点轨迹的常用方法动点 P 的轨迹方程是指点 P 的坐标(x,y)满足的关系式。1. 直接法(1)依题意,列出动点满足的几何等量关系;(2)将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。例题已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C: x 2 + y 2 = 1 ,动点 M 到圆 C 的切线长等与 MQ ,求动点 M 的轨迹方程,。解:设动点 M(x,y),直线 MN 切圆 C 于 N。依题意: MQ = MN ,即 MQ 2 = MN2而 MN2= MO 2 - NO 2 ,所以MQ 2 = MO 2 - 1(x-2) 2 +y 2 =x 2 +y 2 -1化简得:x= 5 。动点 M 的轨迹是一条直线。42. 定义法分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件,由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆(或椭圆、双曲线、抛物线)的定义。依题意求出曲线的相关参数,进一步写出轨迹方程。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。例题:动圆 M 过定点 P(-4,0),且与圆 C: x 2 + y 2 - 8 x = 0 相切,求动圆圆心 M 的轨迹方程。解:设 M(x,y),动圆M的半径为 r。若圆 M 与圆 C 相外切,则有 ∣MC∣=r+41 / 8若圆 M 与圆 C 相内切,则有 ∣MC∣=r-4而∣MP∣=r, 所以∣MC∣-∣MP∣=±4动点 M 到两定点 P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为 4,所以动点 M 的轨迹为双曲线。其中 a=2,c=4。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。动点的轨迹方程为:x 2 y 2- = 14 123. 相关点法若动点 P(x,y)随已知曲线上的点Q(x ,y )的变动而变动,且x 、y 可用 x、y 表示,则0 0 0 0 。P将 Q 点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点的轨迹方程。这种方法称为相关点法酽锕极額閉镇桧猪訣锥。例题:已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3),端点 A 在圆 C : ( x + 1)2 + y 2 = 4 上运动,求线段 AB的中点 M 的轨迹方程。x=  4 + x解:设 M(x,y), A( x , y ),依题意有:A B3 + yA , y=2       2A则:x =2x-4, y =2y-3, 因为点 A( x , y )在圆 C : ( x + 1)2 + y 2 = 4 上,所以A A A B(2 x - 4) 2 + (2 y - 3) 2 = 4点 M 的轨迹方程为:( x - 2) 2 + ( y - 3 ) 2 = 12动点 M 的轨迹为以(2, 3 )为圆心,1 为半径的圆。24. 参数法例题:已知定点 A(-3,0),M、N 分别为 x 轴、y 轴上的动点(M、N 不重合),且 AN ^ MN ,点 P 在直线 MN 上, NP = 3 MP 。求动点 P