线性代数知识点总结(免费).docx

1 、 行 列 式1. n 行列式共有 n2个元素,展开后有 n!项,可分解为 2n行列式;2. 代数余子式的性质:①、 A 和 a 的大小无关;ij ij②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为 0;③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为 A ;3. 代数余子式和余子式的关系: M = (-1)i + j Aij ijA = (-1)i + j Mijij4. 设 n 行列式 D :2将 D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为 D ,则 D = (-1)n(n-1) D ;1 12将 D 顺时针或逆时针旋转 90 ,所得行列式为 D ,则 D = (-1)n(n-1) D ;2 2将 D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为 D ,则 D = D ;3 3将 D 主副角线翻转后,所得行列式为 D ,则 D = D ;4 45. 行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;2②、副对角行列式:副对角元素的乘积 ´ (-1)n(n-1) ;③、上、下三角行列式( ◥ = ◣ ):主对角元素的乘积;2④、 ◤ 和 ◢ :副对角元素的乘积 ´ (-1)n(n-1) ;⑤、拉普拉斯展开式: A O = A C = A B 、 C A = O A = (-1)m n A BC B O B B O B C⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;⑦、特征值;n6. 对于 n 阶行列式 A ,恒有: l E - A = ln + å (-1)k S ln-k ,其中 S 为 k 阶主子式;k kk =17. 证明 A = 0 的方法:①、 A = - A ;②、反证法;③、构造齐次方程组 Ax = 0 ,证明其有非零解;④、利用秩,证明 r ( A) < n ;⑤、证明 0 是其特征值;2 、 矩 阵1. A 是 n 阶可逆矩阵:Û A ¹ 0 (是非奇异矩阵);Û r ( A) = n (是满秩矩阵)Û A 的行(列)向量组线性无关;Û 齐次方程组 Ax = 0 有非零解;Û "b Î Rn, Ax = b 总有唯一解;Û A 与 E 等价;Û A 可表示成若干个初等矩阵的乘积;Û A 的特征值全不为 0;Û AT A 是正定矩阵;Û A 的行(列)向量组是 Rn 的一组基;Û A 是 Rn 中某两组基的过渡矩阵;2. 对于 n 阶矩阵 A : AA* = A* A = A E 无条件恒成立;3. ( A-1 )* = ( A* )-1( AB)T = BT AT( A-1 )T = ( AT )-1        ( A* )T = ( AT )*( AB)* = B* A*          ( AB)-1 = B -1 A-14. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均 A 、 B 可逆:A øæ Aç 1若 A =çççèA2sö÷÷ ,则:÷÷Ⅰ 、 A = A A1 2As;Ⅱæ A-1ç 1、 A-1 = ççA-12ö÷÷ ;÷A-1 ÷ø②、 æç A   O ö÷ = æç A-1÷ ;(主对角分块)③、 æç O A ö÷ = æç  Oè  B O  ø   è  A÷ ;(副对角分块)Oè O B ø è Oççè