经济中的数学函数及模型.doc

一、常用的经济函数1、总成本函数、总收入函数、总利润函数总成本函数是指在一定时期内,生产产品时所消耗的生产费用之总和。常用表示,可以看作是产量的函数,记作总成本包括固定成本和可变成本两部分,其中固定成本指在一定时期内不随产量变动而支出的费用,如厂房、设备的固定费用和管理费用等;可变成本是指随产品产量变动而变动的支出费用,如税收、原材料、电力燃料等。固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的。在短期生产中,固定成本是不变的,可变成本是产量的函数,所以,在长期生产中,支出都是可变成本,此时。实际应用中,产量为正数,所以总成本函数是产量的单调增加函数,常用以下初等函数来表示:(1)线性函数,其中为常数.(2)二次函数,其中为常数.(3)指数函数,:每个单位产品的成本,()所得到的全部收入,常用表示,,,即未出售商品时,,则总收益的为平均收益:,若单位产品的销售价格为,则,,为总收益与总成本之差,常用表示,即例某工厂生产某产品,每日最多生产100个单位。日固定成本为130元,生产每一个单位产品的可变成本为6元,,因为总成本为固定成本与可变成本之和,据题意有例设某商店以每件元的价格出售商品,若顾客一次购买50件以上,则超出部分每件优惠10%,试将一次成交的销售收入表示为销售量的函数。解由题意,一次售出50件以内的收入为元,而售出50件以上是,收入为所以一次成交的销售收入是销售量的分段函数需求函数与供给函数需求量指的是在一定时间内,消费者对某商品愿意而且有支付能力购买的商品数量。经济活动的主要目的是在于满足人们的需求,经济理论的主要任务之一就是分析消费及由此产生的需求。但需求量不等于实际购买量,消费者对商品的需求受多种因素影响,例如,季节、收入、人口分布、价格、等等。其中影响的主要因素是商品的价格,所以,我们经常将需求量看作价格的函数,记为通常假设需求函数是单调减少的,需求函数的反函数在经济学中也称为需求函数,,降价使需求量增加,价格上涨需求量反而会减少,即需求函数是价格的单调减少函数。常用以下简单的初等函数来表示:(1)线性函数,其中为常数.(2)指数函数,其中为常数.(3)幂函数,,其中为常数,求时的需求量和时的价格。解当时,,表示价格为零时,消费者对某商品的需求量为,这也是市场对该商品的饱和需求量。当时,为最大销售价格,表示价格上涨到时,无人愿意购买该产品。供给量是指在一定时期内生产者愿意生产并可向市场提供出售的商品量,供给价格是指生产者为提供一定量商品愿意接受的价格,将供给量也看作价格的函数,记为一般说来,价格上涨刺激生产者向市场提供更多的商品,使供给量增加,价格下跌使供给量减少,即供给函数是价格()的单调增加函数。常用以下简单的初等函数来表示:(1)线性函数,其中为常数。(2)指数函数,其中为常数。供给量也受多种因素影响,(3)幂函数,其中为常数。当市场上需求量与供给量一致时,即,商品的数量称为均衡数量,记为,商品的价格称为均衡价格,记为。例如,由线性需求和供给函数构成的市场均衡模型可以写成解方程,可得均衡价格和均衡数量:由于>0,,,需求量减少而供给量增加,反之,当市场价格低于时,需求量增加而供给量减少。市场价格的调节就是利用供需均衡来实现的。经济学中常见的还有生产函数(生产中的投入与产出关系)、消费函数(国民消费总额与国民生产总值即国民收入之间的关系)、投资函数(投资与银行利率之间的关系)等等。例已知某商品的需求函数和供给函数分别为求该商品的均衡价格。解由均衡条件可知所以均衡价格价格为例已知某产品的价格为元,需求函数为,成本函数为元,求产量为多少时利润最大?最大利润是多少?解因为需求函数为,,所以收益函数为利润函数因此,时利润最大,且最大利润是30元。二、边际由导数定义知,函数的导数是函数的变化率。在经济分析中,经济函数的变化率(因变量对自变量的导数),通常称为“边际”.在经济问题中,经常用到年产量的变化率、成本的平均变化率等概念。设函数在点处可导,则在区域内的平均变化率为,瞬时变化率为定义:设函数在点处可导,则称为的边际函数,在处的导数值为边际函数值。由微分的概念可知,当自变量的改变量很小时有,但在经济应用中,最小的改变量可以是一个单位,即,所以有这说明在点处当产生一个单位的改变时,函数近似改变了个单位。(1)边际成本设总成本函数为,则称其导数为产量为时的边际成本,记做。,当时,,因此产量为时