精二次函数最值知识点总结典型例题及习题.docx

二次函数在闭区间上的最值、知识要点:一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。般分为:对称轴在区间的左边,中间,右边三种情况2设f(x)axbxc(a0),求f(x)在x[m,n]上的最大值与最小值。分析:将f(x)配方,得顶点为b4acb22a'4a、对称轴为xb2a当a0时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m,n]上f(x)的最值:(1)当b2am,n时,f(x)的最小值是b2a4acb24af(x)的最大值是f(m)、f(n)中的较大者。(2)当bm,n时2ab右 _m,由f(x)在m,n上是增函数则2af(x)的最小值是f(m),最大值是f(n)2a,由f(x)在m,n上是减函数则f(x)的最大值是f(m),最小值是f(n)当a0时,可类比得结论。、例题分析归类:(一)、正向型是指已知二次函数和定义域区间,求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形:( 1)轴定,区间定;(2)轴定,区间变;(3)轴变,区间定;(4)轴变,区间变。轴定区间定定二次函数在二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,[0,3]上的最大值是 ,最小值是 ,求函数f(x)xx1的最值。2、轴定区间变二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情况是 定函数在动区间上的最值”。(X)(X1)2 1定义在区间t,t1上,求f(x)的最值。(x)X24x3,当x[t,t1](tR)时,求f(x) 总结如下:f(x)maxf(x)maxf(m),2af(n),2a〔(mn)(如图1)2Rmn)(如图2)2f(X)minf(n),—n(如图3)2ab b 土向f( ),m n(如图4)2a 2af(m), —m(如图5)2af(n),—n(如图6)2af( ),m n(如图7)f(X)min2a 2af(m),— m(如图8)2af(m),f(n),b1(mn)(如图9)2a2b2a1(m2n)(如图10)当a0时3、 轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化, 即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称这种情况是动二次函数在定区间上的最值”。,且a20,求函数f(x)x2ax3的最值。2例5.(1)求f(X)X2ax1在区间[-1,2]上的最大值。(2)求函数yx(xa)在x[1,1]上的最大值。轴变区间变二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化的,我们称这种情况是 动二次函数在动区间上的最值”。(xa)(a°),,求u(x3)2y2的最小值。(二)、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中参数的取值。(X) ax22ax1在区间[3,2]上的最大值为4,求实数a的值。X在区间[m,n]上的最小值是3m最大值是3n,求m,n的值。2 (x)ax2(2a1)x1在区间一,2上的最大值为3,求实数a2的值。[1,1]上的最小值和最大值分别是()311(A)1,3(B)