西安交大计算方法B大作业.docx

计算方法B上机报告姓名:学号:班级:学院:任课教师:2017年12月29日题目一:题目内容某通信公司在一次施工中,需要在水面宽度为20米的河沟底部沿直线走向铺设一条沟底光缆。在铺设光缆之前需要对沟底的地形进行初步探测,从而估计所需光缆的长度,为工程预算提供依据。已探测到一组等分点位置的深度数据(单位:米)如下表所示:(1)请用合适的曲线拟合所测数据点;(2)估算所需光缆长度的近似值,并作出铺设河底光缆的曲线图;实现题目的思想及算法依据首先在题目(1)中要实现的是数据的拟合,显然用到的是我们在第三章中数据近似的知识内容。多项式插值时,这里有21个数据点,则是一个20次的多项式,但是多项式插值随着数据点的增多,会导致误差也会随之增大,插值结果会出现龙格现象,所以不适用于该题目中点数较多的情况。为了避免结果出现大的误差,同时又希望尽可能多地使用所提供的数据点,提高数据点的有效使用率,这里选择分段插值方法进行数据拟合。分段插值又可分为分段线性插值、分段二次插值和三次样条插值。由于题目中所求光缆的现实意义,而前两者在节点处的光滑性较差,因此在这里选择使用三次样条插值。根据课本SPLINEM算法和TSS算法,采用第三种真正的自然边界条件,在选定边界条件和选定插值点等距分布后,可以先将数据点的二阶差商求出并赋值给右端向量d,再根据TSS解法求解三对角线线性方程组从而解得M值。求出M后,对区间进行加密,计算200个点以便于绘图以及光缆长度计算。对于问题(2),使用以下的公式:!获取M的矩阵元素个数,.!;=20;x=0:n;y=[];M=y;%用于存放差商,此时为零阶差商h=zeros(1,n+1);c=zeros(1,n+1);d=zeros(1,n+1);a=zeros(1,n+1);b=2*ones(1,n+1);h(2)=x(2)-x(1);fori=2:n%书本110页算法SPLINEMh(i+1)=x(i+1)-x(i);c(i)=h(i+1)/(h(i)+h(i+1));a(i)=1-c(i);enda(n+1)=-2;%计算边界条件c(0),a(n+1),采用的是第三类边界条件c(1)=-2;fork=1:3%计算k阶差商fori=n+1:-1:k+1M(i)=(M(i)-M(i-1))/(x(i)-x(i-k));endif(k==2)%计算2阶差商d(2:n)=6*M(3:n+1);%给d赋值endif(k==3)d(1)=(-12)*h(2)*M(4);%计算边界条件d(0),d(n),采用的是第三类边界条件d(n+1)=12*h(n+1)*M(n+1);endendl=zeros(1,n+1);r=zeros(1,n+1);u=zeros(1,n+1);q=zeros(1,n+1);u(1)=b(1);r(1)=c(1);q(1)=d(1);fork=2:n+1%利用书本49页算法TSS求解三对角线性方程组r(k)=c(k);l(k)=a(k)/u(k-1);u(k)=b(k)-l(k)*r(k-1);q(k)=d(k)-l(k)*q(k-1);endp(n+1)=q(n+1)/u(n+1);fork=n:-1:1p(k)=(q(k)-r(k)*p(k+1))/u(k);endfprintf('三对角线性方程组的解为:');disp(p);%求拟合曲线x1=0::20;%首先对区间进行加密,增加插值点n1=10*n;x2=zeros(1,n1+1);x3=zeros(1,n1+1);s=zeros(1,n1+1);fori=1:n1+1forj=1:nifx1(i)>=x(j)&&x1(i)<=x(j+1)%利用书本111页算法EVASPLINE求解拟合曲线s(x)h(j+1)=x(j+1)-x(j);x2(i)=x(j+1)-x1(i);x3(i)=x1(i)-x(j);s(i)=(p(j).*(x2(i)).^3/6