几种常见的平面变换.docx

2、矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点) 即 A l1a + l 2 b  = l1 Aa + l 2 Ab ;( )例 1:(1)平面上任意一点在矩阵 ç  几种常见的平面变换【知识网络】1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义;,3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形(如正方形)的变换,认识到矩阵可表示如下的线性变换:恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。【典型例题】æ 1 0 ö1 ÷ 的作用下( )ç ÷è 5 øA. 横坐标不变,纵坐标伸长 5 倍 B. 横坐标不变,纵坐标缩短到15倍C. 横坐标,纵坐标均伸长 5 倍 D. 横坐标,纵坐标均缩短到15倍÷    B.  ççC.  ççD.  ççA.  ççè  0  1 ÷ø-1   0÷ø0   -1÷ø0   1÷ø答案:B。(2) 表示 x 轴的反射变换的矩阵是( )æ 1 0ö æ -1 0ö æ 0 1 ö æ 1 0 ö÷ ÷ ÷è è è答案:D。(3)已知二次曲线 2 x2 + 3xy + y 2 + x - y - 2 = 0 ,若将其图形绕原点逆时针旋转θ2  ) ,所得图形的新方程式中不含 xy 项,则θ =角后 (0 < q < p()答案:C。解析:由已知得旋转变换矩阵 M= êcosq  -sinq ùx sin q + y cosq úû     î y = - x¢ sinq + y¢ cosqy û   ëy¢û  ëA、30° B、45° C、60° D、75°ësinq cosq ûé x ù é x¢ ù é x cosq - y sin q ù ì x = x¢ cosq + y¢ sinqT: ê ú ® ê ú = ê ,从而有 íë代入原二次曲线方程,得到关于 x¢, y¢ 的新方程式,要使其中不含 x¢, y¢ 项,必须满足p p2sin q cosq + 3(cos2 q - sin 2 q ) = 0 ,即 tan 2q = - 3 ,∵q Î (0, ),\q = 。2 31úûë0é1 kù()设 OAB 的三个点坐标为 O(0,0),A(a1,a2),B(b1,b2),在矩阵 M= ê对应的变换下作用后形成△ OA¢B¢ 则△OAB 与△ OA¢B ¢ 的面积之比为___________。答案:1:1。解析:由题意知 TM 为切变变换,故变换前后的图形面积大小不变。é1 0 ù0(5)函数 y = 3cos x 在矩阵 M= ê 1 ú 变换作用下的结果是。ë 2 û1 / 9(1) ççæ 1   0ö÷÷ 方程为 y = 2 x + 2 ;答案: y = 3 cos x 。解析:本变换是伸压变换。2例 2:试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形,并指出该变换是什么变换。è 0 1 ø(2) çç1 ÷ø0æ - 1 0ö÷ 点 A(2,5);è•A(-2,5)Y•A(2,5)(3) çç 2   0ö 曲线方程为 x 2 + y 2 = 4è 0 1 øO            X∵ ê0 1 ú ê y ú = ê y ú ∴x=x' y=y'换后的点为 A ( x , y ) ,则 çç 2   0öæ x ö = æ 2x ö = æ x1 ö\2x = x , y = yè 0