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西北大学学报自然科学版
年月,第卷第期,.,,.,.

关于函数与费尔马数
朱敏慧
西安工程大学理学院,陕西西安
摘要:目的研究函数对费尔马数的下界估计问题。方法利用初等方法、组合方法
以及原根的性质。结果证明了估计式≥·,其中为任意大于的整数。结论
改进了的相关结论,使函数对费尔马数具有一个较强的下界估计。
关键词:.函数;费尔马数;初等方法;原根;下界估计
中图分类号:. 文献标识码: 文章编号:

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≥·,, .
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引言及结论《:⋯一。、熹。
。
对任意正整数,著名的函数
定义为最小的正整数使得。即,凡文献研究了一的下界估计,
证明了对任意奇素数,有估计式
:,。例如:函数的前几
个值为:,.,,, 一≥。
文献研究了下界估计问题,证明
:, ,,,
了对任意素数≥,有估计式
, ,,⋯,,
,⋯。关于的初等性质,许多学者进行了研究, ≥。
获得了不少有趣的结论。例如,文献研究了以上文献中所涉及的数列一有着重
的值分布性质,证明了下面的结论: 要的数论背景,事实上数列一称为梅森尼
设表示的最大素因子,那么对任意实数。梅森尼曾猜测对所有素数, 为素数。然而,这
一
数,有渐近公式猜测后来被验证是错误的,因为。“一
×是个合数,而数列‘一与一个古老的
数论难题——偶完全数密切相关。有关内容可参阅
收稿日期:
基金项目:国家自然科学基金资助项目;西安工程大学校管科研基金资助项目
作者简介:朱敏慧,女,陕西富平人,从事数论研究。
一一西北大学学报自然科学版第卷
文献及。和· 不可能同时为素数至少有一
此外,文献研究了的下界估计问个能被或者整除,· 和·“‘不
题,证明了对任意正整数≥,有估计式可能同时为素数至少有一个能被或者整除,
· 和· 不可能同时为素数至少有
‘≥·。
一个能被整除,这样一来,在所含的个不同
其中为费尔马数,定义为
素因子中,至少有一个·”中的≥。
‘
不妨设,≥,由的性质知
本文作为文献的注释,利用初等方法、原≥≥· · 。
根的性质以及组合技巧改进了文献中的结论, 如果恰好含两个不同的素因子,不失一
获得了更强的下界估计。具体地说即证明了下面的般陛可设
定理。”· · 卢,
定理对任意正整数≥,有估计式
或者
≥·。· · ·”卢
或者
定理的证明· “· · ”卢。
如果· · 卢且≥或
‘利用初等方法、原根的性质以及组合技巧直接者≥,那么由几的性质立刻推出估计式
给出定理的证明。首先注意到, ≥. ,
,它们都是素数。因此对,,有· 卢
≥·,. ≥· ”,卢· ·”≥
· 。
· 。
因此不失一般性假定≥如果是一个素数,设
女Ⅱ果“· ·“’
,那么由的性质有
· ””,那么注意到≥,有同余式

‘≥—. “。
· “.

如果是一个复合数,那么设是,的任意素因
矛盾。因此
子,显然,。设表示的指标。即,
≠“· · 。
表示最小的正整数,