向量组的线性相关性教案.docx

第四章 向量组的线性相关性教学目的和要求:(1)理解n维向量、向量的线性表示的概念 .(2)理解向量组线性相关、线性无关的定义,了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.(3)了解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩.(4)了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系 .(5)理解线性方程组解的性质 .(6)理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.(7)理解非齐次线性方程组的解结构系及通解的概念 .(8)会用初等行变换求解线性方程组 .教学重点:向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组的解的结构 .教学难点:(1)向量组的线性相关性中相关定理的证明 .(2)求向量组的秩及最大线性无关组 .(3)线性方程组的解的结构定理及其应用 .教学容:§1 向量组及其线性组合定义1 n个有次序的数1, ,n所组成的数组称为 n维向量,这n个数称为该向量的 n个分量, 对n维向量 及 1,, m,若有数组k1,,km,使得表示.=k11+1+kmm,称 为11, ,3m的线性组合,或 可由 1,5, m线性1 0 2 1 3 1 4 3例1 设 1, 1, 1, 1线性表示?试判断 4可否由1,2,3113k15k10011k23k22解 设 4k11k22k33,比较两端的对应分量可得11 1 k31, 求得一组解为 k3 1于是有 401 2213,即 4可由1, 2,[注] 取另一组解 k3230时,有 421 32 向量b能由向量组A:a1,,am线性表示的充分必要条件是矩阵 A=(a1,,am)的秩等于矩阵的秩 B=(a1,,am,b).定义3 设有两个向量组 A:a1,,am及B:b1,,bl,若B组中每个向量都能由向量组A线性表示,,则称这两个向量组等价 .定理2 向量组B:b1,,bl能由向量组A:a1,,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,,am)的秩等于矩阵的秩(A,B)=(a1,,am,b1,,bl)的秩, 即R(A) R(A,B)推论 向量组A:a1,,am与向量组B:b1,,bl等价的充分必要条件是R(A)R(B)R(A,B), 3 设向量组B:b1,,bl能由向量组A:a1,,am线性表示, 则R(b1,,bl)R(a1,,am)课后作业****题四1,2,3,4,5§2 向量组的线性相关性定义4 线性相关:对n维向量组1, ,m,若有数组k1,,km不全为0,使得k11++kmm=0则称向量组1, ,m线性相关,:对n维向量组1, ,m,仅当数组k1,,km全为0时,才有k11++kmm=0则称向量组1, ,m线性无关,否则称为线性相关.[注] 对于单个向量 :若若=0,则 线性相关;≠0,则 ,若对应分量成比例,则该向量组线性相关 , 判断例1中向量组1,2, 3, 设k11+k22+k33+k44=0,比较两端的对应分量可得k111 3 5 0k201 1 3 0k311 1 1 0k4即Ax 4,而R(A)4,所以Ax 0有非零解,由定义知1,2,3, 已知向量组1, 2,3线性无关,证明向量组1 1 2, 22 3, 33 设k11+k22+k33=0,则有(k1k3)1(k1k2)2(k2k3)3 0因为 1,2,3线性无关,所以k1 k3k1 k2k2 k31 01 10 1 0 1 k1 00 1 1 0 k2 00, 即 0 1 1 k3 010 2 0系数行列式0 1 1, 1,2, 判断向量组e1 (1,0,0,,0),e2(0,1,0,,0), ,en(0,0,,0,1) 设k1e1+k2e2++knen=0,则有(k1,k2,,kn)=0?只有k10,k20, ,kn 0故e1,e2,定理4,en线性无关.(1)向量组1, 2,, m(m2)线性相关 其中至少有一个向量可由其余m 必要性 已知1, 2,,m线性相关,则存在k1,k2,,km不全为零,使得 k11+k