18 19第1章11第2课时正弦定理2.docx

:..第2课时正弦定理(2)学****目标:,计算三角形的面积.(重点).(难点),忽略隐含条件而致误.(易错点)[自主预****探新知] a+b+c⑴sinAsinBsinC2RsinA+sinB+sinC.(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.-a-bsinAa_sinAb_sinBsinB,c_sinC,c_sinC.(4)a:b:c=sinA:sinB:^abc=2absinC=2bcsinA=:已知三角形的两边及其夹角,为什么不必考虑解的个数?[提示]如果两个三角形有两边及其夹角分别相等,,三角形的六个元素即可完全确定, :在厶ABC中,已知acosB=,b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?[提示]可借助正弦定理把边化成角:2RsinAcosB=2RsinBcosA,移项后就是一个三角恒等变换公式sinAcosB—cosAsinB=0.[基础自测]思考辨析(1)在有些三角形中,a=sinA,b=sinB,c=sinC.( )(2)在厶ABC中,丿;=厂CJ)v sinAsinB+sinC'(3)在厶ABC中,a=2,b=1,C=30°贝US〃bc=1.( )abc 1[解析]由正弦定理snA=SinB=丽C可知,正确;又Sxabc=21x2X1Xsin30=2,故⑶错误.[答案](1)2 ⑵V⑶x[合作探究攻重难]陵型卫 [解] ⑴在厶ABC中,0<A<n,0<B<n,A+B+C=n,由cosA=—513,得sinA=13,3 4由cosB=5,得sinB=5,123•••sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin(2)在厶ABC中,由正弦定理得,5x4BCXsinB5x5 13AC=sinA=IT=J,13SaABC=6xBCXACXSinC=6x5X63x器=2 2 3 653'[类翌g利用正弦定理判断三角形的形状卜例在厶ABC中,已知atanB=btanA,试判断△ABC的形状.[思路探究]根据正弦定理可以把问题转化为角的问题,借助三角恒等变换知识化简得到角与角的等量关系,——cosA,即sinAcosA=sinBcosB,亦即sin2A=sin2B.*2A=2B或2A=n—2B,*A=B或A=扌—B,•△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.[规律方法]判断三角形形状的两种途径⑴利用正弦定理把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 A+B+C=,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,:用正弦定理进行边角互化的两种方法:[跟踪训练]△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sinA=sin2B+sin2C,试判断△[解]法一:在厶abc中,根据正弦定理:sn~A=sn~B=sn~C==a2R,sinB=2R,sinC==sinB+sinC,sinA=sin2B+sin2C,•••a2=b2+』,•••△ABC是直角三角形且A=90°.•••A=180°—(B+C),sinA=2sinBcosC,•••sin(B+C)=2sinBcosC,...sinBcosC—cosBsinC=0,即sin(B—C)=0,•B—C=0,即卩B=C,•△ABC是等腰直角三角形. 第#页图1-1-2[思路探究]构造三角形,通过三角形中的边角关系求得△ACD中的部分边角,利用正弦定理在△ACD中求CD的长.[解]延长CD交过A,B的水平线于E,F,因为/CAE=60°ZCBF=45°/DBF=30°,所以ZBCF=45°,ZACE=30°,ZBDF=60°,所以ZBCA=15°,ZADC=120°,ZCBA=15°,ZCAD=30°.所以AC=AB=40,AC CD心ACD中,由正弦定理得,sin^DC二snwD,即簷罕,解得CD=彎3T2母题探究:1.(变条件)本例中的条件“60°改为“75°,“45°改为