二用数学归纳法证明不等式.docx

用数学归纳法证明不等式在明确数学归纳法本质的基础上,>—1,且x丰0,n€N,n>:(1+x)n>1+:(1)当n=2时,左边=(1+x)2=i+2x+x2,右边=1+2x,因x2>0,则原不等式成立.(在这里,一定要强调之所以左边〉右边,关键在于 x2>0是由已知条件xm0获得,为下面证明做铺垫)⑵假设n=k时(k>2),不等式成立,即(1+x)k>1+:现在要证的目标是(1+x)k+1>1+(k+1)x,:现将命题转化成如何证明不等式(1+kx)(1+x)>1+(k+1),上式中"=”:(1+kx)(1+x)>1+(k+1):证明不等式的基本方法有哪些?(学生可能还有其他多种证明方法,这样培养了学生思维品质的广阔性,教师应及时引导总结)师:这些方法,哪种更简便,更适合数学归纳法的书写格式?学生丙用放缩技巧证明显然更简便,利于书写. 当n=k+1时,因为x>—1,所以1+x>0,于是左边=(1+x)k+1=(1+X)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2; 右边=1+(k+1)>0,所以左边〉右边,即(1+x)k+1>1+(k+1),原不等式当 n=k+(1)和(2),原不等式对任何不小于 2的自然数n都成立.(通过例1的讲解,明确在第二步证明过程中,虽然可以采取证明不等式的有关方法,但为了书写更流畅,逻辑更严谨,通常经归纳假设后,要进行合理放缩,以达到转化的目的)例2证明:2n+2>n2,n€N+.证:(1)当n=1时,左边=21+2=4;右边=1,左边>.⑵假设n=k时(k>1且k€N)时,不等式成立,即2k+2>,请同学们考虑 n=k+1时,如何论证2k+1+2>(k+1):将不等式2k2—2>(k+1)2,右边展开后得:k2+2k+1,由于转化目的十分明确,所以只需将不等式的左边向 k2+2k+1方向进行转化,即:2k2—2=k2+2k+1+k2—2k—,只需证明 k2—2k—3>0,不等式2k2—2>k2+2k+:由于使不等式不成立的 k值是有限的,只需利用归纳法,将其逐一验证原命题成立,因此在证明第一步中,应补充验证n=2时原命题成立,那么,n=3时是否也需要论证?师:(补充板书)当n=2时,左=22+2=6,右=22=4,所以左>右;当n=3时,左=23+2=10,右=32=9,所以左> n=1,2,3时,不等式成立.(以下请学生板书)⑵假设当n=k(k>3且k€N)时,+2>+1+2=2•2k+2=2(2k+2)—2>2k2—2=k2+2k+1+k2—2k—3=(k2+2k+1)+(k+1)(k—3)(因k>3,贝Uk—3>0,k+1>0)>k2+2k+仁(k+1)2. 所以2k+1+2>(k+1)=k+1时,(1)和(2),原不等式对于任何 n€:通过例2可知,在证明n=k+1时命题成立过程中,针对目标 k2+2k+1,采用缩小的手段,但是由于k的取值范围(k>1)太大,不便于缩小,因此,用增加奠基