中国海洋大学高等代数2007B卷.docx

***********中国海洋大学命题专用纸(首页)*********线*******订*******装**********题号-二二三四五六七八总分分数专业年级 学号 姓名 授课教师 (每题2分,共10分).1**********三(10分)A为4阶复数矩阵•EA与0021等价02102100(20分)已知A=1 111,求一正交矩阵T使T'AT成对角形•求A的若当标准形•授课教师陈文轶命题教师或命题负责人签字陈文轶院系负责人签字年月曰* ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** *********************** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** *2006学年第2学期试题名称:高等代数II 。 ()2•两个子空间的和的维数等于两个子空间的维数的和 ^ ()3•特征向量的和仍是特征向量 • ()4•属于不同特征值的特征向量是线性无关的 ()5•正交矩阵的伴随矩阵仍为正交矩阵 • ()1111四(10分)证明:实对称阵为正定阵的充要条件为特征值全大于零。五(10分)A为n级矩阵•g(x)是矩阵A的最小多项式,f(x)是矩阵A的特征多项式。证明:g(x)|f(x)•六(15分)设V是复数域上的n维线性空间, A,B是V上的线性变换,且AB=BA•证明:1) 如果是A的一特征值,那么V是B的不变子空间。2) A,B至少有一个公共的特征向量。中国海洋大学命题专用纸(附页A)2006学年第2学期 试题名称:高等代数II共2页第2页七(15分)设=(ai@,L©)', (bib,L,bn)',且ab0,A'.求(1)A2. (2)(10分).设A是n维线性空间V上的线性变换,且A2=e(单位变换)证明:(1)A的特征值为 1.(2)VVV,.2006-2007学年第2学期高等代数II答案().判断题。•解:丨EA|( 4).所以特征值为0,4(3重)。将特征值代入求解线性方程组(EA)x0,得4个线性无关的特征向量(答案可以不唯一) ,再正一-111111交单位化,得4个单位正交向量: 1=( )',2=(-f,f,0,0)'2222 V21 1 2 3 ■.3 ,3,3XI—,, ,0) , 4=(- , , , )3=(-®..6,,6,0)',4=(-6,6,'AT01202~6600100—:A的行列式因子为D4()(2)4,D3()D2()D1()()(2)4,d3()d2()dd)12初等因子为(2)4,因而A的Jordan标准形为J1212四•证:设二次型x'Ax经过正交线性替换xTy化为x'Ax 1y; 2y;L ny:,i是A的特征值。所以A正定应2盒L ny;正定i0(i1,2,L,n)。(证法不惟一)五•证:f(A)0,g(A)0设f(x)g(x)q(x)r(x),r(