统计学三大分布与正态分布的关系.doc

统计学三大分布与正态分布的关系[1]张柏林41060045理实1002班摘要:本文首先将介绍分布,分布,分布和正态分布的定义及基本性质,然后用理论说明分布,分布,分布与正态分布的关系,[2] 分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅(Benayme)、赫尔默特(Helmert)、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发现,它是由正态分布派生出来的,主要用于列联表检验。定义:若随机变量相互独立,且都来自正态总体,则称统计量为服从自由度为的分布,,分布的密度函数图形是一个只取非负值的偏态分布,:性质1:;性质2:若,相互独立,则;性质3:;性质4:设,对给定的实数称满足条件:,,是由英国统计学家戈赛特在1908年“student”的笔名首次发表的,:设,相互独立,,则称统计量服从自由度为的分布,:性质1:是偶函数,;性质2:设,对给定的实数称满足条件;,可得类似地,我们可以给出t分布的双侧分位数显然有对不同的与,,,:设,相互独立,令则称统计量服从为第一自由度为,:性质1:若;性质2:若,则;性质3:设,对给定的实数称满足条件;:,(Gauss)在研究误差理论时首先用正态分布来刻画误差的分布,,μ和σ,,常将一般的正态变量X通过u变换转化成标准正态变量u,以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0,σ=,则称服从参数为的正态分布,:正态曲线(normalcurve)在横轴上方均数处最高;特征2:正态分布以均数为中心,左右对称; 特征3:正态分布有两个参数,,固定不变时,越大,曲线沿横轴越向右移动;反之,越小,,当固定不变时,越大,曲线越平阔;越小,,:正态曲线下面积的分布有一定规律。实际工作中,常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数,以便估计该区间的例数占总例数的百分数(频数分布)。对于正态或近似正态分布的资料,已知均数和标准差,[3],则对任意x,:因为分布的所以由独立同分布中心极限定理得因为且所以因为所以=令,利用Stirling公式:则上式====,首先定义分布函数和相应的正态分布,再依次增大,比较两者关系:[4]从上面三个图形可以看出,越大,分布密度函数与正态分布度函数越接近,,(1)证法1:由于自由度为n的t分布的概率密度函数为因此(1)式等价于(2)先利用Stirling公式:证明事实上,利用函数的性质当时当时亦可推出同样的结果。另外,由特殊极限公式可得综合上诉,即证明(2)式所以,,首先定义分布函数和相应的正态分布,再依次增大,比较两者关系:从上面三个图形可以看出,越大,分布密度函数与正态分布度函数越接近,,第二自由度为的分布,: