(中学生数学)向量中的“隐藏圆”.doc

寻求向量中“隐藏圆”浙江省东阳市顺风高级中学(322100)刘光红向量含有代数运算性质和图形直观感知功效,表现了数和形结合,向量问题中有很多全部含有它特有几何意义,若能挖掘出问题本质,问题就会迎刃而解。其中寻求问题中“隐藏圆”就是一个常见方法,这么既能够避免大量繁杂运算,又能够直观知道向量改变趋势,进而轻松快速有效地处理问题。若问题中给出两个运动着向量夹角为定值,或间接给出夹角为定值,或某两个向量差(或和)向量模为定值等相关条件,求相关向量模或夹角范围等问题,能够试着经过寻求向量终点所在“隐藏圆”来处理问题。下面几例就是经过寻求“隐藏圆”来处理问题。、,满足,,则向量、夹角最大值为。BA图1O解析:由可知,向量能够看作是和向量相同起点O,终点在以向量终点A为圆心单位圆上,图1所表示,显然向量所在直线和圆相切时,即终点在点B处时,向量、夹角最大,由,,,易知,所以向量、夹角最大值为。AOB图2评注:要想找到“隐藏圆”,首先要观察到这个定值,即向量终点固定后,同起点向量终点在以终点为圆心单位圆上运动。从而轻易发觉两个向量夹角改变情况,找到最大角。、,满足,,则当向量、夹角最小时值为。解析:由可知,向量能够看作是和向量2终点O为起点,终点在以向量起点A为圆心,半径为单位圆上,图2所表示,显然向量所在直线和圆相切时,即终点在点B处时,向量、夹角最小,由,,,易知,向量、夹角最小值为。此时。评注:观察到这个定值,由三角形法则向量能够看作是以向量终点O为起点,终点在以向量起点A为圆心,半径为单位圆上向量,找到了这个“隐藏圆”,就轻易发觉向量、,和夹角为,则范围是。OBA图3C解析:因为向量和夹角为,向量终点C能够看作以长AB为弦,且所正确圆周角为圆O上,(图3所表示),由顶角为,底边,可求圆半径为,显然,当向量过圆心O时,它模最长,此时=,当起点和终点靠近重合时,靠近于0,所以范围为评注:由和两个条件,利用同弧所正确圆周角相等能够找到“隐藏圆”,显然,向量起点为A不动,终点D在圆上运动,取值范围一目了然。、为平面内两个相互垂直单位向量,若向量满足,则最大值为。解析:由和可知,向量能够看作是和、共起点A,终点在认为直径圆上向量,(图4所表示),因为、为平面内两个相互垂直单位向量,显然最大值为该圆直径。评注:由找到“隐藏圆”,使向量为起点A固定,而终点C在圆上游动向量,显然最大模长为,解法简单直观。、、满足,且,则最小值为。OBCAMFED图5解析:依据可知,向量、模长相等,夹角为,由可知,向量和向量垂直,即和垂直,图5所表示,向量、、起点相同,向量终点在以AD为直径圆M上。则大小即为长度大小,显然当点C在BM连线和圆M交点E、F处时,分别取得最小值和最大值。又