常微分方程数值解法.ppt

第九章常微分方程数值解法§1 、引言 00: ( , ) ( ) d y f x y a x b d x yyx ?? ???????一阶常微分方程的初值问题' ' : x y - 2 y = 4 x y = f ( x , y ) = y ( 1 ) = - 3 ( , ) ( ) 2 y 4x 2 y 4x d y 2 y f x y 4 d x x y 1 3 ? ????? ????? ??例 方程令: 且给出初值就得到一阶常微分方程的初值问题: ( , ) L ( , ) ( , ) f x y f x y f x y L y y ? ??只要函数适当光滑连续,且关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件,即存在常数,使得由常微分方程理论知,初值问题的解必存在且唯一。微分方程的数值解:设方程问题的解 y(x) 的存在区间是[a,b ],令 a= x 0 < x 1<…< x n =b ,其中 h k=x k +1-x k , 如是等距节点 h=(b-a)/n , h称为步长。 y(x) 的解析表达式不容易得到或根本无法得到,我们用数值方法求得 y(x) 在每个节点 x k上 y(x k)的近似值,用 y k表示, 即y k≈ y(x k),这样 y 0 , y 1 ,..., y n称为微分方程的数值解。微分方程离散化常用方法?????? 11 , A ( , ( )) nn n n n n n n y y f x y x yx dy x x x x dx ????? ??用差商代替微商?????????,2,1,0, , ,, 1 1 1 1 1??????????????nhf fh yy hyx yy yx yy x yx yxx n n nn n n nn n n n n nn代替,则: 用 1 1 B. : ( , ) ( 0, 1, ) n n n n x x x x dy dx f x y dx n dx ? ?? ?? ??数值积分用数值积分方法离散化 1 1 1 1 , ( ), ( ), ( , ) ( , ) ( 0,1, ( , )) nn n n n n x n n x n n n n y y y x y x f x y dx hf x y y y hf x ny ?? ????? ???用 代替对右端积分采用取左端点的矩形公式 则有 2 / // 2 // C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( , ( )) ( ) 2 n n n n n n n n n y x Taylor y h y h y hf y xh y y x x x x hy x x x x ?? ? ???? ? ????在 附近的展开: 00 ( , ) ( ) d y f x y a x b d x yyx ? ??? ??? ????