模型举例 传染病 经济增长模型.ppt

数学模型
微分方程模到
1传染病模型
2经济增长模型
数学模型
动态·描述对象特征随时间空间)的演变过程
模烈·分析对象特征的变化规律
预报对象特征的未来性态
研究控制对象特征的手段
微分·根据函数及其变化率之间的关系确定函数
方程·根据建模目的和问题分析作出简化假设
建模
按照内在规律或用类比法建立微分方程
数学模型
传染病模型
问题·描述传染病的传播过程
分析受感染人数的变化规律
预报传染病高潮到来的时刻
预防传染病蔓延的手段
按照传播过程的一般规律,
用机理分析方法建立模型
数学模
模型1已感染人数(病人)i(O
假设
每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为元
建模(+△)-i()=Gi()△
ni i(t)=ige
t
(0)=indt→>→io
若有效接触的是病人,
必须区分已感染者(病
则不能使病人数增加
人)和未感染者(健康人)
数学模型
模型2区分已感染者病人)和未感染者健康人)
假设1)总人数N不变,病人和健康
人的比例分别为i(t),s(t)
SI模型
2)每个病人每天有效接触人数元~日
为,且使接触的健康人致病接触率
建模Ni(t+△)-i(t)]=[s()|Ni(t)△t
di- nsu
A(1-i)
dt
s(t)+i(t)=1
i(O)
数学模型
模型2
ni(1-i) E Logistic模型
1/2
t=21
di最大
传染病高湖到来时刻t→→i→1?
λ(日接触率)→tn↑病人可以治愈!
数学模型
模型3传染病无免疫性—病人治愈成
为健康人,健康人可再次被感染SS模型
增加假设3)病人每天治愈的比例为44~日治愈率
建模Ni(t+△)-i(t)=ANs()i(t)△-!Ni(t)△M
hi(1-i)-1l
元~日接触率
i(o)=i
l/x~感染期
a~一个感染期内每个病人的
有效接触人数,称为接触数
数学掉
模型3
di(1-i)-uui o=n/u
i-(1--
dildo
σ>1
σ≤1
dildo< 0
1-1/
接触数σ=1~阙值
IOOO
σ≤1→i(t)ψ
σ>1
小→()按S形曲线增长感染期内有效接触感染的
健康者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3SIS模型)的特例
数学模型
模型4传染病有免疫性—病人治愈
SIR模型
后即移出感染系统,称移出者
假设1)总人数N不变,病人、健康人和移
出者的比例分别为i(t),s(t),r(t)
2)病人的日接触率λ,日治愈率
接触数σ=/
建模S(1)+i(t)+r(t)=1
需建立i(t),S(t),F(t)的两个方程
数学模型
模型4
SIR模型
N[i(t+M)-i(t)=ANs(t)i()△t-AV()△t
M[s(t+△)-s(t)]=-Ns(ti(t)△t
Asi- Lll
无法求出i(t),s(t)
as
asi
dt
的解析解
(0)=io,s(0)=S
在相平面s~i上
i+S≈1(通常r(0)=b很小)。研究解的性质