高数无穷小量和无穷大量.ppt

第一章
二、 无穷大
三 、 无穷小与无穷大的关系
一、 无穷小

无穷小量与无穷大量
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精选课件
当
一、 无穷小
定义1 . 若
时 , 函数
则称函数
例如 :
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
函数
当
为
时的无穷小 .
时为无穷小.
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精选课件
说明:
除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
因为
当
时,
显然 C 只能是 0 !
C
C
时 , 函数
(或 )
则称函数
为
定义1. 若
(或 )
则
时的无穷小 .
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精选课件
其中 为
时的无穷小量 .
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
证:
当
时,有
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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精选课件
二、 无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 ,
一切满足不等式
的 x , 总有
则称函数
当
时为无穷大,
使对
若在定义中将 ①式改为
①
则记作
(正数 X ) ,
记作
总存在
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精选课件
注意:
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例如, 函数
当
但
所以
时 ,
不是无穷大 !
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精选课件
例 . 证明
证: 任给正数 M ,
要使
即
只要取
则对满足
的一切 x , 有
所以
若
则直线
为曲线
的铅直渐近线 .
渐近线
说明:
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精选课件
三、无穷小与无穷大的关系
若
为无穷大,
为无穷小 ;
若
为无穷小, 且
则
为无穷大.
则
(自证)
据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为
无穷小来讨论.
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
说明:
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精选课件
内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系
Th1
3. 无穷小与无穷大的关系
Th2
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