高数(多元函数的极值和条件极值).ppt

一、多元函数的极值
二、最值应用问题
三、条件极值
§-
极值
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精选课件
一、 多元函数的极值
定义: 若函数
则称函数在该点取得极大值(极小值).
例如 :
在点 (0,0) 有极小值;
在点 (0,0) 有极大值;
在点 (0,0) 无极值.
极大值和极小值
统称为极值,
使函数取得极值的点称为极值点.
的某邻域内有
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说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
例如,
定理1 (必要条件)
函数
偏导数,
证:
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
取得极值 ,
取得极值
取得极值
但驻点不一定是极值点.
有驻点( 0, 0 ),
但在该点不取极值.
且在该点取得极值 ,
则有
存在
故
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时, 具有极值
定理2 (充分条件)
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
令
则: 1) 当
A<0 时取极大值;
A>0 时取极小值.
2) 当
3) 当
时, 没有极值.
时, 不能确定 , 需另行讨论.
若函数
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例1.
求函数
解: 第一步 求驻点.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别.
在点(1,0) 处
为极小值;
解方程组
的极值.
求二阶偏导数
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在点(3,0) 处
不是极值;
在点(3,2) 处
为极大值.
在点(1,2) 处
不是极值;
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及
是否取得极值.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,
在(0,0)点邻域内的取值
, 因此 z(0,0) 不是极值.
因此
为极小值.
正
负
0
在点(0,0)
并且在 (0,0) 都有
可能为
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例(最小二乘法) 在实际问题中，常常要从一组观测数据(xi,yi)(i=1,,n)出发，预测函数y=f(x)的表达式．从几何上看，就是由给定的一组数据(xi,yi)(去描绘曲线y=f(x)的近似图形，这条近似的曲线称之为拟合曲线，要求这条拟合曲线能够反映出所给数据的总趋势(参看下图). 作曲线拟合有多种方法，其中最小二乘法是常用的一种，它是根据实际数据采用一种“直线拟合”:的方法,也就是用线性函数来作逼近．
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假定所给的数据点(xi,yi)(的分布大致成一条直 线，设它的方程为
y=ax+b
其中系数a、 代入直线方程，得
这与实测到的值yi有偏差
称=(a,b)为平方总偏差.
现在求a,b，使得平方总偏差达到最小，则所得直线 y=ax+b就是所给数据的最佳拟合直线.
作偏差的平方和
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由极值的必要条件，有
于是得到a、b所满足的方程
由此方程组解出a、b，则y=ax＋b就是所要求的直线方程.
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