线性代数应用举例.ppt

例1平板稳态温度的计算
为了计算平板形导热体的温度分布,将平板划分为许
多方格,每一个节点上的稳态温度将等于其周围四个
节点温度的平均值。由此可得出阶数与节点数相同的
线性方程组,方程的解将取决于平板的边界条件。
这个方法可以用来计算飞行器的蒙皮温度等
平板温度计算的模型
T1=(10+20+72+73)4
20c200
72=(20+30+7+7:)/4
T3=(10+50+T+7)4
10c
30c
T4=(30+50+72+7)4
300
整理为
50c50C
4
1071|30
140
T2|50
60
147
80
MATLAB程序
A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,.0,4,-1;0,-1,-1,4
b=[30;50;60;80};
U=rref(A, bD
运行结果为
U

0


00

0



向高阶系统扩展
将平板分割得愈细,求出的解就愈精确。如果把上
述区域分成25个点如右
则要解25阶的线性方程组。
30
运行书上的程序得温度分布
30
如下
20c20c20c20c20c
例2交通流的建模
260
对于一个有双向车流的十
A X1
D260
字路口,根据流出流入车
数相等的规则,可以列出
下列方程组:
220
292
节点A:x1+360-x2+260
x1-X2
节点B:x2+220=x3+292
节点C:x3+320=x4+357
:72
节点D:x4+260=x1+251
7
相应的矩阵方程为
MATLAB程序
A=[1,1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1]:
b=[-100;72;37;9]
U=rref(Ia, bD)
运行结果为:
U
x=x4+9
x4+10
00
001
137
x2=x1+37
00000
由于U的最后一行为全零,也就是说,四个方程中实
际上只有三个独立。x4可以任设,因为如果有一些车沿
此路口环行,对方程无影响,故方程组的解可如上表示.
向高阶系统扩展
把上述模型扩展到多个十字路,乃至整个城市,
就构成高阶的线性代数方程组。例如下面的6节
点交通流图,它就要由6个方程和7个变量来描
述。用行最简型方法可以知道,它的解将包括两
个自由变量。其物理意义类推。
X6
D
转机航线的数学模型
其中,第i行描述从城市i出发,可以到达各个城市的
凊况,若能到达第j个城市,记A(j)=1,否则A(i)=0,
规定AG,i)=0(其中i=1,2,3,4)。如第2行表示:从城市2
出发可以到达城市3和城市4而不能到达城市1和2
不难证明:矩阵A^2=A*A表示一个人连续坐两次航
班可以到达的城市,矩阵AA3=A*A*A表示连续坐三
次航班可以到达的城市:
多次转机到达的城市
分析矩阵A^3的第二行,可以得出
1222
某人从城市2出发,连续坐三次航班
0122
可以到达城市2、3和城市4,不能到
0000
达城市1,而到达城市3和城市4的
方法各有两种。
不难看出,转机两次以下的航
2444
线的航路矩阵为
1233
At2=A+A^2+A^3
At2
0000
程序为
3433
A=[O,1,1,1;0,0,1,1;0,0,;1,1,
At2=A+A^2+A^3