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第三节模拟方法——概率的应用基础梳理几何概型的概念向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点 M,若点M落在子区域 G 1?G的概率与 G 1的面积成正比,而与G的形状、位置无关,即 P(点M落在 G 1)= 1GG 的面积的面积,则称这种模型为几何概型. C. 基础达标 14 13 15 12 1. ( 教材改编题)一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外,其余全部相同)上爬来爬去,它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是(). D. 故蚂蚁停留在黑色地板砖上的概率是 解析:每个小方块的面积相等,而黑色地板砖占总体的 4 1 12 3 ? 13 答案:B 2. ( 原创题)在一个长为 1 m 、宽为 m 的长方体鱼缸中漂浮着一块面积为 m 2的浮萍,则向缸里随机洒鱼食时,鱼食掉在浮萍上的概率约为()A. B. C. D. 3. ( 教材改编题)有如下四个游戏盘,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,,他应选择的游戏盘是() 解析:记“鱼食掉在浮萍上”为事件 A,鱼缸的水面面积 S= m 2, 则P(A)= ?答案:A所以 B游戏盘的中奖概率最大. B游戏盘的中奖概率为 解析:A游戏盘的中奖概率为 3812 2 2 2 2 4 2 4 r r r ? ?? ?? ??? ? 221rr ? ?? C游戏盘的中奖概率为,D游戏盘的中奖概率为答案:B 4. 在直径为 6的球内随机取一个点,则这个点到球面的距离大于 2的概率为()A. D. 13 19 1 27 1 36 B. C. 解析:由题意知,当点位于以原球心为球心,以 1为半径的球的内部时满足题意,故 P= 3341134 27 33 ????.答案:C .经典例题题型一与长度、角度有关的几何概型【例1】某公共汽车站每隔 10分钟有一辆汽车到达,乘客到达车站的时刻是任意的,求一个乘客候车时间不超过 7分钟的概率. 解析:每个乘客可在相邻两班车之间的任何一个时刻到达车站, 因此每个乘客到达车站的时刻 t可以看成是均匀落在长为 10分钟的时间区间(0,10] 上的一个随机点,等待时间不超过 7分钟则是指点落在区间[3,10] 上. 设第一辆车于时刻 T1到达,而第二辆车于时刻 T 2到达,线段 T 1T 2的长度为 10,设 T是线段 T 1T 2上的点,且 TT 2的长度等于 . 记“等车时间不超过 7分钟”为事件 A,事件 A发生即点 t落在线段TT 2上,则 w的长度=T 1T 2=10 ,A的长度=TT 2=7,所以 P(A)= .故等车时间不超过 7分钟的概率是 7 w 10 A? 7 10 如图,四边形 ABCD 为矩形, AB= , 变式 1-1 3 BC=1 ,以 A为圆心, 1为半径作四分之一个圆弧 DE,在圆弧 DE上任取一点 P,则直线 AP与线段 BC有公共点的概率是. 所以∠CAB=30 °,当直线 AP在∠CAB 内时 AP与 BC相交,所以概率 P= 1 3 33 ? 30 1 90 3 ???解析:如图, 连接 AC交弧 DE于P, 则tan ∠CAB= .答案:13 题型二与面积有关的几何概型【例2】设线段 AC的长为 2 ,B是AC的中点,现在 AB上任取一点 D,在 BC上任取一点 E,以 D 、E为分点,把 AC分成 AD、DE、EC三段, 试求以 AD、DE、EC为三边能构成一个三角形的概率. l . 解析:设 AD、EC的长度分别为 x,y,则 DE的长度为 2l-x-y , 其中 0<x<l,0 <y<l,对于如图所示的边长为 l的正方形,以 AD、DE、EC为边能构成三角形的条件是 AD DE EC AD EC DE DE EC AD ? ???? ???? ??. y l x y l x l ???? ?????12 即所以,当以 x为横坐标,以 y为纵坐标的点落在图中阴影三角形区域内,三线段 AD、DE、EC能构成一个三角形, 从而所求概率 P= 地面上有两个同心圆(如图),其半径分别为 3,2 ,若图中两直线所夹锐角为, 则向最大圆内投点且投到图中阴影区域内的概率为. 变式 2-1 4 ? 2 2 2 3 2 3 2 17 4 4 9 36 SS ? ??? ?????? ?阴解析:所求概率 P= . 17 36答案: 题型三与体积有关的几何概型【例3】在 1升高产小麦