立体几何两种解法的论文.doc

立体几何问题两种解法的比较
孟祥凤
摘 要：本文对高考数学中立体几何的两种求解方法（传统法与向量法）进行了比较探究，全面分析了立体几何问题分别用传统法和向量法来解题的方法，并通过实例中对两种方法解题的对比，指出传统法与向量法的优缺点及区别与联系，进而提出在教学和解题上对传统法与向量法的选择的思考，以期使它们的积极功能得以体现．
关键词：立体几何 传统法 向量法
立体几何在培养学生空间想象能力、逻辑推理能力等方面有着独到的作用，因而它成为历届高考重点考查的内容之一，在历年的高考中约占12%.高考数学试卷中立体几何的难度不会很大，所以应在基础知识，基本技能落实的基础上注意类比、转化思想，数行结合思想的应用，借助向量知识、点-线-面之间的性质等工具，选取合理、快捷的解题方法.
立体几何中常出现的问题无外乎线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质以及空间距离和空间角等这几方面，下面分别从传统法和向量法两种方法阐述这两种方法在解这些问题时的方法。
传统法
传统方法是在向量法以前的唯一一种解立体几何的方法，它存在一定的技巧性，只要从多个方面考虑问题解决并不难。以下从几个方面给出运用传统法的方法。

（一)解决线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质(见表一)

（二）传统法解决空间距离的方法
①异面直线距离：通常找公垂线段，在根据已知条件求出公垂线段长。
②点到平面的距离：先作出表示距离的线段，再证明它就是所要求的距离，然后再
计算；或用等体积法。
③面与面间距离：找出两个面的公垂线，根据已知条件求出公垂线的距离即为面与面间的距离。

（三）传统法解决空间角的方法
①异面直线所成的角：将异面直线平移，转化为同一平面内的两条直线，在借助三角形的正、余弦定理求解。
②线面角：先求点到面的距离，通过射影斜线间在同一个三角形内，然后解直角三角形的方法进行求解。
③二面角：
方法一：设二面角--的大小为 (0≤≤) , ，分别是平面，内且垂直于的向量,则=<,> 或=- <，> 。
方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，通过射影斜线间的关系，然后通过解直角三角形求角。

（四）解题思路
传统法的解题思路：证明平行和垂直主要是依据判定定理和性质定理，计算问题主要是作辅助线、证明、求解的过程，先要做出或寻找到所求的距离或角，然后证明，，余弦定理等解三角形的知识，解决问题的技巧性较大。
平行
垂直
直线和直线
(1)同平行于直线的两直线平行行
(2)= ,//,
(3)
(4) ⊥,⊥
(5)两平行平面都和第三个平面相交分别交于与，则交线平行
(1) ⊥,//c⊥c
(2) ⊥,⊥
(3)三垂线定理及其逆定理
(4) //,⊥⊥
直线 ()与平面
(1)
(2)
(3),⊥,⊥ //
(1) ⊥m, ⊥ ⊥
(2) //,⊥⊥
(3) //, ⊥⊥
(4) ⊥,,, ⊥⊥
(5) ⊥,⊥,
⊥
平面与平面
(1)若内的两条相交直线,都平行于，则//
(2)⊥,⊥//
(3)平行于同一平面的两平面平行
(1) ⊥,⊥
(2) //,⊥⊥
表一（见[1][2]）
例1：如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点。
（I）证明：直线；
（II）求异面直线与所成角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离。
(1)证明：取中点，连接，.
,,
.
又,
平面平面,
平面.
(2）解：,
为异面直线与所成的角（或其补角）.
作连接.
平面,
.
,
,,
, ,
与所成角的大小为.
(3)解:平面,
点和点到平面的距离相等.
连接,过点作.
,,
平面,
,