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(完整版)平面向量练习题集标准答案.doc平面向量练****题集答案
典例精析
题型一 向量的有关概念
【例 1】 下列命题：
①向量 AB 的长度与 BA 的长度相等；
②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；
③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；
④向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则 A、 B、 C、D 必在同一直线上 .
其中真命题的序号是 .
【解读】 ①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错； AB 与 CD
是共线向量， 则 A、B、C、D 可在同一直线上， 也可共面但不在同一直线上， 故④错 .故是真命题的只有① .
【点拨】 正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个
反例即可 .
【变式训练 1】下列各式：
|a|＝ a ? a ；
(a ? b) ? c＝ a ? (b ? c)；
③ OA － OB ＝ BA ；
④在任意四边形 ABCD 中， M 为 AD 的中点， N 为 BC 的中点，则 AB ＋ DC ＝ 2 MN ；
a＝ (cos α， sin α)， b＝ (cos β， sin β)，且 a 与 b 不共线，则 (a＋ b)⊥ (a－b) .
其中正确的个数为 ( )

【解读】 选 D.| a |＝ a ? a 正确； (a ? b) ? c≠a ? (b ? c)； OA － OB ＝ BA 正确；如下图所示，
MN = MD + DC + CN 且 MN = MA + AB + BN ，
两式相加可得 2 MN ＝ AB ＋ DC ，即命题④正确；
因为 a， b 不共线，且 |a|＝|b|＝ 1，所以 a＋ b， a－ b 为菱形的两条对角线，
即得 (a＋b)⊥( a－ b).
1 / 9
所以命题①③④⑤正确 .
题型二 与向量线性运算有关的问题
【例 2】如图， ABCD 是平行四边形， AC 、BD 交于点 O，点 M 在线段 DO
上，且 DM =
1 DO ，点 N 在线段 OC 上 , 且 ON = 1 OC ,设 AB =a, AD =b,试用 a、
3
3
b 表示 AM ， AN ， MN .
【解读】 在 ?ABCD 中， AC ，BD 交于点 O，
所以 DO ＝
1
1
1
2 DB ＝ 2( AB － AD ) ＝2( a－ b)，
1
1
1
AO ＝ OC
＝2
AC ＝
2( AB ＋ AD )＝
2(a＋ b).
又 DM ＝ 31 DO ， ON ＝ 31 OC ，
所以 AM ＝ AD ＋ DM
＝ b＋1 DO
3
1
1
1
5
b，
＝ b＋ × (a－ b)＝ a＋
3
2
6
6
AN ＝
4
＝ 3 OC

1
AO ＋ ON ＝ OC ＋ 3 OC
4
1
2
(a＋ b).
＝
× (a＋ b)＝
3
2
3
所以 MN ＝ AN － AM
2 1 5 1 1
3(a＋ b)－ (6a＋ 6b)＝ 2a－ 6b.
【点拨】 向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表
示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形 .
【变式训练 2】O 是平面 α上一点， A、B、C 是平面 α上不共线的三点， 平面 α内的动点 P 满足 OP ＝
1
OA ＋ λ( AB ＋ AC )，若 λ＝ 2时，则 PA ? ( PB ＋ PC )的值为 .
【解读】 由已知得 OP － OA ＝ λ( AB ＋ AC )，
1 1
即 AP ＝ λ( AB ＋ AC )，当 λ＝ 2时，得 AP ＝ 2( AB ＋ AC ) ，所以 2 AP ＝ AB ＋ AC ，即 AP － AB ＝ AC － AP ，
所以 BP ＝ PC ，
所以 PB ＋ PC ＝ PB ＋ BP ＝ 0，
2 / 9
所以 PA
? ( PB ＋ PC ) ＝ PA ?