三角形、梯形的中位线.ppt

第九讲 平行线等分线段定理及三角形、梯形中位线（二）
主讲 宗老师
若EF是△ABC的中位线，
则EF∥BC，
一、主要知识点
1 平行线等分线段定理及推论：
2 梯形中位线定理和三角形中位线定理：
若EF是梯形中位线，
则EF∥AD∥ BC，
A D
E F
B C
若AE=BE,
EF∥AD∥BC,
则DF=CF.
A
E F
B C
若AE=BE,
EF∥BC,
则AF=CF.
一、主要知识点
3 梯形中常添加的辅助线：
A D

B C
A D

B C
A D

B C
A D

B C
A D

B C
E
E
O
E
F
E
F
例1. 已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为CD、AB的中点，且∠A+∠ B=90°.
求证：
方法一. 证明：
作CE∥AD交AB于E，CF∥MN交AB于F.
∵AB ∥CD, ∴AE=CD，∠A=∠1，CM=FN，MN=CF.
∵∠A+∠B=90°, ∴∠1+∠B=90°. ∴△CEB是直角三角形.
∵BE=AB-AE=AB-CD, ∴BF=BN-NF
在Rt△ECB中，F是斜边BE的中点,
二、例题和练****br/>二、例题和练****br/>例1. 已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为CD、AB的中点，且∠A+∠ B=90°.
求证：
方法二. 证明：
作BE∥AD交DC于E，作CE中点F，连BF.
∵AB∥CD, AD∥BE, ∴四边形ABED是平行四边形.
∴∠A=∠E, AB=DE.
∵M是CD中点，F是CE中点，
∴MNBF是平行四边形，MN=BF.
∵∠A+∠B=90°, ∠1=∠B.
∴∠1+∠E=90°. △BCE是直角三角形.
∵ F是斜边BE的中点，
二、例题和练****br/>例1. 已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为CD、AB的中点，且∠A+∠ B=90°.
求证：
方法三. 证明：
作ME∥AD交AB于E，MF∥BC交AB于F.
∵AB ∥CD, ∴AE=DM, BF=CM. ∴EF=AB-CD.
∵∠A=∠1, ∠B=∠2, 又∵∠A+∠B=90°,
∴∠1+∠2=90°. ∴△MEF是直角三角形.
在Rt△MEF中，EN=FN, N是EF的中点,
例2. 填空题：
顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是_______________;
顺次连结矩形各边中点所得的四边形是____________;
顺次连结菱形各边中点所得的四边形是____________;
顺次连结正方形各边中点所得的四边形是__________;
顺次连结梯形各边中点所得的四边形是____________;
顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是_________;
顺次连结四边形各边中点所得的四边形是__________________.
结论：中点四边形都是平行四边形；
若原四边形对角线相等，则中点四边形是菱形；
若原四边形对角线垂直，则中点四边形是矩形.
二、例题和练****br/>平行四边形
菱形
矩形
正方形
平行四边形
菱形
平行四边形
例3. 一题多证：
已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD. 以AD、AC为邻边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于F.
求证：EF=FB.
方法一：提示：延长EC交EC交AB于M.
AMCD是平行四边形，AD=CM；
ACED是平行四边形，AD=CE.
在△EMB中，CE=CM，CF∥AB.